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El grupo de Picard y sus múltiples expresiones

En este post, veremos algunos grupos que resultan ser isomorfos al grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. En lo que sigue X siempre será una curva proyectiva no singular sobre \mathbb{C} (y usaremos la topología de Zariski), \mbox{Div}(X) será el grupo de divisores en X\mbox{PDiv}(X) el subgrupo de los divisores principales de X y \mbox{KDiv}(X) el subgrupo de los divisores canónicos de X.  

Para empezar, definiremos el grupo de Picard de X:

Definción Definimos el grupo de Picard de X como \mbox{Pic}(X):=\mbox{Div}(X)/\mbox{PDiv}(X).

Notamos de inmediato que tenemos la siguiente secuencia exacta

0\to\ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\stackrel{\mbox{inc}}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\deg}{\to}\mathbb{Z}\to0,

donde claramente \deg:\mbox{Div}(X)\to\mathbb{Z} es la función grado. Sea p\in X, y consideremos la aplicación \varphi que toma (la clase de) un divisor D en \mbox{Pic}(X) de grado d y lo envía a (la clase de) D-dp\in\ker\deg/\mbox{PDiv}(X).

Notamos que \mbox{inc}\circ\phi=\mbox{id}, y luego la secuencia exacta escinde. Esto implica que 

\mbox{Pic}(X)\simeq(\ker\deg/\mbox{PDiv}(X))\times\mathbb{Z}.

Por el Teorema de Abel, se tiene que \ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\simeq\mbox{Jac}(X) (el jacobiano de X), y luego se tiene que

\mbox{Pic}(X)\simeq\mbox{Jac}(X)\times\mathbb{Z}. 

Sea \mathcal{O}_X el haz de las funciones regulares, \mbox{LB}(X) el conjunto de todos los fibrados de líneas de X (módulo isomorfismo) y sea \mbox{Inv}(X) el conjunto de todos los haces invertibles en X (módulo isomorfismo).

Recordamos que un haz invertible \mathcal{F} es un haz que es localmente isomorfo al haz \mathcal{O}_X; es decir, para todo p\in X existe un abierto U\subset X que contiene a p tal que \mathcal{F}(U)\simeq\mathcal{O}_X(U). Se tiene que \mbox{Inv}(X) forma un grupo abeliano con la operación de producto tensorial (de haces), y con elemento neutro \mathcal{O}_X.

Isomorfismos entre los grupos

Si \mathcal{O}_X^* denota el haz de las funciones regulares que nunca toman el valor cero, \mathscr{K}^* denota el haz de las funciones racionales que son distintas de cero (mas bien el haz constante \underline{\mathscr{K}^*}) y Div_X denota el haz de divisores cuyas secciones Div_X(U) consisten de los divisores con soporte finito contenido en U, tenemos la siguiente secuencia exacta de haces:

0\to\mathcal{O}_X^*\to\mathscr{K}^*\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X\to0.

Esta secuencia exacta induce una secuencia exacta larga de cohomología (aquí estamos usando la cohomología de Cech):

0\to\mathcal{O}_X^*(X)\to\mathscr{K}^*(X)\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0;

el último término es 0 pues como \mathscr{K}^* es un haz constante, se tiene que H^1(X,\mathscr{K}^*)=0. Notamos que \mathcal{O}_X^*(X)\simeq\mathbb{C}^*, y entonces la secuencia exacta se convierte en

0\to\mathbb{C}^*\to\mathscr{K}(X)\backslash\{0\}\stackrel{\mbox{div}}{\to}\mbox{Div}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0.

Así, obtenemos que H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\simeq\mbox{Div}(X)/\mbox{KDiv}(X)\simeq\mbox{Pic}(X). Por lo tanto, hemos demostrado que

Proposición \mbox{Pic}(X)\simeq H^1(X,\mathcal{O}_X^*).

Sea ahora D un divisor en X, y sea \mathcal{O}[D] el haz de funciones racionales con polos acotados por D (por ejemplo \mathcal{O}[D](X)=L(D)=\{f\in\mathscr{K}_X:(f)+D\geq0\}). Se puede demostrar que \mathcal{O}[D] es un haz invertible, y que

\mathcal{O}[\cdot]:\mbox{Pic}(X)\to\mbox{Inv}(X)

tal que [D]\mapsto\mathcal{O}[D] es una aplicación bien definida, y de hecho es un homomorfismo de grupos.

Sea \mathcal{F}\in\mbox{Inv}(X), y sea \{U_i\}_{i\in I} un cubrimiento de X por abiertos tal que \mathcal{F} es trivial sobre cada U_i (es decir, es isomorfo a \mathcal{O}_X sobre cada U_i). Sea f_i un generador de \mathcal{F}(U_i).

Entonces para todo i,j\in I, existe una función t_{ij}\in\mathcal{O}_X^*(U_i\cap U_j) tal que f_i=t_{ij}f_j. Se tiene que la aplicación H_I:\mbox{Inv}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*) tal que \mathcal{F}\mapsto [(t_{ij})_{i,j}] está bien definida, y es independiente de la elección de generadores y del cubrimiento abierto. De hecho, se tiene el siguiente resultado:

Proposición \mathcal{O}[\cdot] y H_I son isomorfismos de grupos; además, se tiene que la composición

\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)\stackrel{H_I}{\to}H^1(X,\mathcal{O}_X^*)

es precisamente el isomorfismo que describimos antes (el isomorfismo que encontramos usando la secuencia exacta).

Consideremos ahora L\in \mbox{LB}(X). Si L está dado por la función \pi:L\to X, entonces definimos una sección regular de L sobre X como una función s:X\to L tal que \pi\circ s=\mbox{id} y tal que para toda carta de fibrado de líneas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U (para U\subset X abierto) se tiene que pr_2\circ\phi\circ s|_U es regular, donde pr_2 es la proyección en la segunda coordenada. Se define similarmente una sección racional.

Denotamos por \mathcal{O}\{L\} el haz de las secciones regulares en X. Se puede demostrar que \mathcal{O}\{L\} es un haz invertible, y así se tiene una función \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X).

Si s es una sección racional sobre X, podemos definir un divisor a partir de s de la siguiente forma: si U\subset X es abierto, p\in U y \phi:\pi^{-1}(U)\to \mathbb{C}\times U es una carta de fibrado de líneas, definimos \mbox{div}(s)(p):=\mbox{ord}_ppr_2\circ\phi\circ s. Se puede demostrar que está bien defindo este número.

Además, dadas dos secciones racionales s_1s_2, se tiene que \mbox{div}(s_1)\sim\mbox{div}(s_2) (equivalencia lineal). Por lo tanto, obtenemos una función [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X).

Proposición Tenemos que las funciones [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X) y \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X) son biyecciones. Además, la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)

es precisamente la función \mathcal{O}\{\cdot\}.

Por la proposición anterior, notamos que podemos dotar \mbox{LB}(X) de estructura de grupo abeliano; lo consideraremos como un grupo de ahora en adelante.

Por último, notamos que si tenemos un fibrado de líneas L\in\mbox{LB}(X) dado por una función \pi:L\to X, para que dos cartas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U y \psi:\pi^{-1}(V)\to\mathbb{C}\times V sean compatibles, necesitamos que o bien U\cap V=\varnothing, o que \phi\circ\psi^{-1} tenga la forma (z,p)\mapsto(f(p)z,p) para alguna función regular f en U\cap V que nunca toma el valor cero (es decir, f\in\mathcal{O}^*(U\cap V)).

Si \{U_i\}_{i\in I} es un cubrimiento por abiertos de X con cartas \phi_i:\pi^{-1}(U_i)\to\mathbb{C}\times U_i, entonces tenemos “funciones de transición” t_{ij}\in\mathcal{O}^*(U_i\cap U_j) tales que \phi_i\circ\phi_j^{-1} es de la forma (z,p)\mapsto(t_{ij}(p)z,p). Estas funciones además cumplen las condiciones de cociclo:

1. t_{ii}=\mbox{id} en U_i

2. t_{ji}t_{ij}=\mbox{id} en U_i\cap U_j

3. t_{ki}t_{ij}t_{jk}=\mbox{id} en U_i\cap U_j\cap U_k.

Por lo tanto, obtenemos una función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) tal que L\mapsto [(t_{ij})_{i,j\in I}]. Esta clase no depende del cubrimiento que tomemos. Llegamos ahora a nuestra última proposición:

Proposición La función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) es un isomorfismo de grupos. Además, se tiene que la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*)

(donde la última flecha es el morfismo obtenido de la secuencia exacta al principio) es precisamente el isomorfismo L\mapsto 1/H_{LB}(L).

Así hemos obtenido diversas maneras de ver el grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. Para resumir, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

 

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Aplicaciones regulares entre variedades cuasiproyectivas

Funciones regulares

Sea X una variedad cuasiproyectiva (un subconjunto abierto de una variedad proyectiva, en la topología de Zariski ) sobre un cuerpo k. La primera definición que daremos de función regular sobre X es la siguiente:

Definición Una función f:X\to k es regular si para todo x\in X existe una vecindad U\subset X de x tal que f|_U es de la forma P/Q donde P y Q son dos polinomios homogéneos del mismo grado y Q(y)\neq 0 para todo y\in U.

Al principio, uno pensaría que esto definiría una función racional sobre X y no una función regular. Sin embargo, mostraremos que en el caso de que X sea un conjunto cerrado afín, entonces esta definición coincide con la definición usual:

Lema Si X es un conjunto cerrado en un espacio afín, entonces la definición de arriba coincide con la definición usual de función regular.

Demostración: Sea X un conjunto cerrado en el espacio afín \mathbb{A}^n y sea f:X\to f regular en el sentido de arriba. Si X es irreducible, entonces f es racional en el sentido usual, y para todo x\in X, existen P_x,Q_x\in k[x_1,\ldots,x_n] (en este caso homogéneos) tales que f=P_x/Q_x (esta igualdad ocurre en todo X, pues en un conjunto irreducible, una función racional está determinada por sus valores en un abierto).

Consideremos el ideal en k[X] generado por todos los Q_x; como k[X] es un anillo Noetheriano, entonces tal ideal se puede escribir de la forma (Q_{x_1},\ldots,Q_{x_m}) para algún m. Notamos que los Q_{x_i} no pueden tener un cero en común (por como los definimos), y por el Nullstellensatz de Hilbert para el anillo k[X], se tiene que tal ideal debe generar el anillo completo.

En particular, existen funciones u_1,\ldots,u_m\in k[X] tales que 1=\sum_{i=1}^mu_iQ_{x_i}. Si multiplicamos ambos lados por f, obtenemos que f=\sum_{i=1}^mu_iP_{x_i}\in k[X], y el lema queda demostrado.

Si X no es irreducible, entonces cada x\in X tiene una vecindad U_x tal que f=P_x/Q_x en U_x con P_x,Q_x\in k[x_1,\ldots,x_n] polinomios homogéneos del mismo grado y Q_x(y)\neq 0 para todo y\in U_x.

Por lo tanto, obtenemos que en U_x, se tiene que Q_xf=P_x. Sea g un polinomio tal que g=0 en X\backslash U_xg(y)\neq 0 para todo y\in U_x (podríamos achicar U_x para que esta última condición se cumpla). 

Así, tenemos que gQ_xf=gP_x en todo X. De la misma forma anterior, existen puntos x_1,\ldots,x_m\in X y funciones regulares en el sentido usual u_1,\ldots,u_m tales que g\sum_{i=1}^mu_iQ_{x_i}=1. Multiplicando por f, obtenemos que f=\sum_{i=1}^mgu_iP_{x_i}\in k[X], y queda demostrado el lema. \Box

Denotamos por k[X] el anillo de las funciones regulares en X.

Aplicaciones regulares

Definición Una aplicación f:X\to\mathbb{A}^n es regular si es regular en cada coordenada. Una aplicación f:X\to Y entre variedades cuasiproyectivas con Y\subset\mathbb{P}^n es regular si para cada x\in X y para algún pedazo afín \mathbb{A}_i^n\subset\mathbb{P}^n que contiene a f(x) se tiene que existe una vecindad U de x tal que f|_U:U\to\mathbb{A}_i^n es regular. 

Es fácil chequear que la definición anterior no depende del pedazo afín que se escoja. Notamos que si f:X\to Y es regular, entonces la función f^*:k[Y]\to k[X] (pullback) es un homomorfismo de k-álgebras.

Si f:X\to Y es regular y f(x)\in\mathbb{A}_0^n, entonces en U f tiene la forma [1:f_1:\cdots :f_n] con f_i regular. Igualando los denominadores de los f_i cerca de x, obtenemos que f tiene la forma [F_0:F_1:\cdots:F_n], donde los F_i son polinomios homogéneos del mismo grado y F_0(x)\neq 0.

Así, podemos ver que f:X\to Y es una aplicación regular si y solamente si para todo x\in X existe una vecindad U de x tal que f en U es de la forma [F_0:\cdots:F_n] con los F_i polinomios homogéneos del mismo grado y F_j(y)\neq 0 para todo y\in U para algún j.

Esta definición se asemeja mucho más a la definición intuitiva que uno tendría de mapeo regular en una variedad cuasiproyectiva.

Decimos que una variedad cuasiproyectiva es una variedad afín si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio afín, y es una variedad proyectiva si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio proyectivo.

Lema La propiedad de que un conjunto Y\subset X es cerrado es una propiedad local; es decir, si X=\bigcup_{\alpha}U_\alpha con U_\alpha abierto y Y\cap U_\alpha es cerrado para todo \alpha, entonces Y es cerrado.

Demostración:  Por definición si X=\bigcup_\alpha U_\alpha con U_\alpha abierto, entonces U_\alpha=X\backslash Z_\alpha, con Z_\alpha cerrado. Además, U_\alpha\cap Y=U_\alpha\cap T_\alpha, con T_\alpha cerrado en X.

Si y\in Y y y\in U_\alpha, entonces y\in U_\alpha\cap Y\subset T_\alpha, y si y\notin U_\alpha entonces y\in Z_\alpha; esto muestra que Y\subset\bigcap (Z_\alpha\cup T_\alpha). Recíprocamente, si x\in Z_\alpha\cup T_\alpha para todo \alpha, entonces x\in U_\beta para algún \beta, y así x\in T_\beta. Luego, x\in T_\beta\cap U_\beta\subset Y, y se tiene entonces que \bigcap_\alpha(Z_\alpha\cup T_\alpha)\subset Y.

Por lo tanto, ambos conjuntos son iguales, y entonces Y es cerrado en X. \Box

El siguiente lema es bastante más interesante:

Lema Todo x\in X tiene una vecindad que es isomorfa a una variedad afín.

Demostración: Sea x\in X, y supongamos que x\in\mathbb{A}_0^n (es decir, la primera coordenada de x es distinta de cero; los otros casos son análogos). Tenemos entonces (por definición de variedad cuasiproyectiva) que X=Y\backslash Z, donde Y y Z son subconjuntos cerrados de \mathbb{A}_0^n.

Tenemos entonces que existe un polinomio F que se anula en Z y tal que F(x)\neq 0. Sea V(F) el conjunto de los ceros de F en Y. Tenemos que D(F)=Y\backslash V(F) es una vecindad de x.

Supongamos que G_1=\cdots=G_n=0 son las ecuaciones de Y en \mathbb{A}_0^n; definimos una variedad W\subset\mathbb{A}^{n+1} por las ecuaciones

G_1(x_1,\ldots,x_n)=\cdots=G_m(x_1,\ldots,x_n)=0

F(x_1,\ldots,x_n)x_{n+1}=1.

Sea \phi:W\to D(F) tal que (w_1,\ldots,w_{n+1})\mapsto(w_1,\ldots,w_n); esta es una función regular con inversa (w_1,\ldots,w_n)\mapsto(w_1,\ldots,w_n,F(w_1,\ldots,w_n)^{-1}), y entonces tenemos que D(F) es una variedad afín. \Box

Si X es una variedad afín y f\in k[X], entonces decimos que D(f)=X\backslash V(f) es un conjunto abierto principal, por la demostración anterior se tiene que todo conjunto abierto principal es una variedad afín.

Corolario Las variedades afínes que contienen a un punto x forman una base de vecindades de x en la topología de Zariski en X.

Demostración: Sea U un abierto de X y x\in U. Notamos que U es también una variedad cuasiproyectiva, y entonces existe un abierto V\subset U que contiene a x que es a su vez una variedad afín.  

Está claro que V es también abierto en X, y luego queda demostrado el corolario. \Box

Proposición Si f:X\to Y es regular, entonces f es continua (donde ambas variedades tienen la topología de Zariski).

Demostración: Para todo x\in X, existen vecindades U de x y V de f(x) tales que f(U)\subset V\subset\mathbb{A}^n y tales que f:U\to V es regular. Sea Z\subset Y cerrado. 

Por el corolario anterior, podemos suponer que U es una variedad afín. Basta demostrar que f^{-1}(Z)\cap U es cerrado en U. Pero f^{-1}(Z)\cap U=f^{-1}(Z\cap V)\cap U.

Como Z\cap V es cerrado en V, está definido por ecuaciones G_1=\cdots=G_r=0. Así, f^{-1}(Z\cap V)\cap U está definido por las ecuaciones f^*(G_1)=\cdots=f^*(G_r)=0. Como U lo podemos tomar como un subconjunto de espacio afín, entonces f es polinomial en cada coordenada, y luego f^{-1}(Z\cap V)\cap U es cerrado en U. \Box

En muchos textos se da una definición alternativa de aplicación regular que vale la pena definir aquí:

Definición Una función f:X\to Y es regular si para todo x\in X y para toda función regular \varphi en una vecindad de f(x), se tiene que f^*(\varphi) es regular en una vecindad de x.

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