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Toros simples

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión g, y sea \Gamma un reticulado para que V/\Gamma sea un toro complejo. Decimos que un conjunto T\subseteq V/\Gamma es un subtoro si existe un subespacio vectorial (complejo!) W\leq V tal que T=W/(W\cap\Gamma).

A priori uno pensaría que un toro complejo tendría abundantes subtoros! En el caso real, por ejemplo, si tomamos el toro (real) \mathbb{R}^2/\Gamma, podemos tomar el subespacio real generado por cualquier elemento de \Gamma, y obtenemos un subtoro de dimensión 1. Sorprendentemente, esto no ocurre en el caso complejo, y es precisamente la condición de que W sea un subespacio vectorial complejo que cambia las cosas. El siguiente ejercicio es realmente muy bonito:

Dado un espacio vectorial complejo V de dimensión g, podemos verlo como un espacio vectorial real y escoger una base \{v_1,\ldots,v_{2g}\}. Así, podemos ver los elementos de \mbox{GL}(2g,\mathbb{R})\subseteq\mathbb{R}^{(2g)^2} como reticulados, donde a la matriz [f_1\cdots f_{2g}] con columnas f_i le asociamos el reticulado \langle f_1,\ldots,f_{2g}\rangle_{\mathbb{Z}}.

Proposición: Existe una sucesión de cerrados Zariski (F_n)_{n\in \mathbb{N}} tales que para todo reticulado \Gamma\in\mathbb{R}^{(2g)^2}\backslash\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n, se tiene que el toro (complejo) V/\Gamma asociado a \Gamma es simple; es decir, no tiene subtoros no triviales.

Demostración: Primero encontraremos condiciones sobre un reticulado \Gamma para ver cuándo tiene algún subtoro de dimensión r. Abusaremos de la notación y escribiremos \Gamma para denotar tanto el reticulado como para denotar una matriz invertible.

Queremos primero que existan \gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\in\Gamma linealmente independientes sobre \mathbb{R} tales que \langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R} sea un subespacio vectorial complejo de V. Para esto, es necesario y suficiente que i\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R}=\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R}.

Notamos que cada elemento de \Gamma es realmente la imagen de un vector con coordenadas enteras a través de la matriz \Gamma. Segundo, vemos que la condición arriba es equivalente a que \mbox{rank}_\mathbb{R}(\gamma_1,\ldots,\gamma_r,i\gamma_1,\ldots,i\gamma_{2r})=2r.

Entonces, queremos que existan a_1,\ldots,a_{2r}\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r} tales que \mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r y \mbox{rank}_\mathbb{R}(\Gamma a_1,\ldots,\Gamma a_{2r},i\Gamma a_1,\ldots,i\Gamma a_{2r})=2r. Esto implica que para todo j, el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución:

[\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}]\vec{x}=i\Gamma a_j.

Al pivotear la matriz [\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}], las primeras 2r filas quedan con pivotes no nulos, y luego las 2g-2r filas restantes quedan nulas. Para que exista solución al sistema, debemos pedir que además al escalonar la matriz [\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}|i\Gamma a_j], la última columna quede con las últimas 2g-2r filas nulas también. Esto impone 2r(2g-2r) ecuaciones sobre los coeficientes de \Gamma, y entonces

\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}

es un cerrado en la topología de Zariski, y está definido por r(2g-2r) ecuaciones. Por lo tanto, para que un toro V/\Gamma tenga un subtoro de dimensión r, es necesario y suficiente que \Gamma esté en el conjunto

\bigcup_{\stackrel{(a_1,\ldots,a_{2r})\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r}}{\mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r}}\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}.

Así, obtenemos que para todo

\Gamma\in\mathbb{R}^{(2g)^2}\backslash\left(\{A:\mbox{det}(A)=0\}\cup\bigcup_{r=1}^{2g}\bigcup_{\stackrel{(a_1,\ldots,a_{2r})\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r}}{\mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r}}\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}\right),

el toro asociado es simple.

Las consecuencias de esto son muy interesantes; esta proposición implica que un toro “general” es simple. Bastante distinto que el caso real!

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