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Acciones de grupo en la esfera de Riemann

Hace tiempo que no subo nada nuevo, pero ahora que estoy preparando mi examen oral espero subir más ejercicios y temas interesantes que vaya encontrando. Este post es una aplicación bonita de la teoría de acciones de grupo en una superficie de Riemann, y se relaciona también con las simetrías de los sólidos platónicos.

Restricciones para que un grupo actúe en la esfera de Riemann

Se sabe que si G es un grupo finito que actúa holomorfa y efectivamente en una superficie de Riemann X compacta de género g (o sea, para todo g\in G, p\mapsto g\cdot p es holomorfa y el núcleo de la acción es trivial), entonces el cuociente X/G es también una superficie de Riemann. Además, si \pi:X\to X/G es la proyección natural, se tiene la fórmula de Riemann-Hurwitz

2g-2=|G|\left[2g_{X/G}-2+\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{r_i})\right],

donde hay k puntos rama de \pi en X/G (digamos que son y_1,\ldots,y_k) y r_i es el orden del estabilizador de cualquiera de los preimágenes de y_i.

En este post me quiero enfocar en la esfera de Riemann \hat{\mathbb{C}}. En este caso, g=0, y es fácil ver (por la misma fórmula arriba) que el género del cuociente es también 0. Así, la fórmula queda

-2=|G|(-2+R),

donde R=\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{r_i}).

Se puede demostrar que k\neq 1, y el caso k=2 se realiza, por ejemplo, cuando G es el grupo cíclico generado por la función z\mapsto\omega z, donde \omega es una raíz |G|-ésima primitiva de la unidad.

El caso k=3 es lo que me interesa describir en este post. Se puede demostrar que si k=3 entonces ocurre lo siguiente:

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,2,r\}\Rightarrow |G|=2r

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,2,3\}\Rightarrow |G|=12

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,3,4\}\Rightarrow |G|=24

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,3,5\}\Rightarrow |G|=60

Para la demostración de estos hechos, véase “Algebraic Curves and Riemann Surfaces” de Rick Miranda, capítulo III, Lema 3.8. Estas son las únicas posibilidades que tiene un grupo que actúa sobre \hat{\mathbb{C}}.

Notamos que si |G|=2r, entonces podemos realizar esta acción con el grupo G=\langle f,g\rangle, donde f(z)=\omega z para una raíz r-ésima primitiva de la unidad y g(z)=\frac{1}{z}. Este grupo es el grupo dihedral D_r.

Veremos en detalle algunas realizaciones de los otros casos, pero primero estudiaremos las simetrías de los sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos y sus simetrías

Los sólidos platónicos son poliedros convexos regulares. Fueron estudiados por Teeteto, Pitágoras, Euclides y Platón, y se cree que Teeteto fue el primero en demostrar que solamente existen cinco sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

El grupo de simetrías de un sólido platónico es el grupo de las permutaciones de los vértices del sólido que provienen de una rotación del sólido completo; si X es el sólido platónico, entonces denotaremos su grupo de simetrías por S(X).

El poliedro dual de un sólido platónico es la figura obtenida de la siguiente manera: para cada cara en el sólido original colocamos un vértice, y estas vértices se unen por una arista solamente si las caras son adyacentes. Es fácil ver que el tetraedro es su propio dual, el dual del cubo es el octaedro y el dual del icosaedro es el dodecaedro.

Se ve que un sólido platónico y su dual comparten el mismo grupo de simetrías, y luego para calcular los grupos de simetrías de los sólidos platónicos, basta calcular las simetrías del tetraedro, el cubo y el icosaedro.

Proposición El grupo de simetrías del tetraedro es isomorfo a A_4, el grupo alternante en 4 letras.

Demostración Sea X un tetraedro. Como X tiene 4 vértices, entonces S(X)\leq S_4. Es fácil ver que todas las permutaciones de los 4 vértices corresponden a rotaciones y reflexiones de X. Como las reflexiones no se pueden obtener con rotaciones, vemos que S(X) es un subgrupo propio de S_4. Además, los 3-ciclos corresponden a rotaciones de X (que por definición son simetrías de X), y como los 3-ciclos generan A_4, obtenemos lo buscado. \Box

Proposición El grupo de simetrías de un cubo es isomorfo a S_4, el grupo simétrico en 4 letras.

Demostración Sea X un cubo. Sean x_1,x_2,\ldots,x_8 los vértices de X, tales que x_i y x_{i+4} son vértices opuestos en el cubo para i=1,\ldots,4. Notamos que cualquier rotación del cubo lleva vértices opuestos en vértices opuestos. Denotamos 1:=\{x_1,x_5\}, 2:=\{x_2,x_6\}3:=\{x_3,x_7\}4:=\{x_4,x_8\}, y por lo dicho, cualquier rotación de X inducirá una permutación de estos números.

Esto implica que S(X)\leq S_4. Por el Teorema de Lagrange, basta encontrar más de 12 rotaciones del cubo para poder establecer una igualdad. Considere el eje que pasa por el centro de una cara y atraviesa el centro de la cara opuesta. Alrededor de este eje podemos rotar, y obtenemos 4 rotaciones (incluyendo la identidad). Podemos hacer esto en 3 ejes distintos, y así obtenemos 9+1=10 permutaciones distintas en S(X).

Considere ahora un eje que corta el centro de una arista y también corta el centro de la arista opuesta. Al rotar alrededor este eje en 180 grados, obtenemos 6 permutaciones nuevas (pues podemos hacer esto alrededor de 6 ejes distintos). Así, obtenemos más de 12 permutaciones, y entonces S(X)\simeq S_4\Box

Para no alargar tanto esta entrada, solamente enunciaré la última proposición:

Proposición El grupo de simetrías de un dodecaedro es isomorfo a A_5.

La demostración de esta proposición (y más información con respecto a los sólidos platónicos) se puede encontrar en el siguiente enlace: Platonic Solids, professor Yongwhan Lim, Stanford University.

Podemos observar que los órdenes de estos grupos de simetrías coinciden exactamente con los últimos tres casos de grupos actuando sobre la esfera de Riemann mencionados arriba. Mostraremos ahora que los grupos que actúan en los sólidos platónicos efectivamente actúan en la esfera de Riemann.

La realización de estas acciones

Para poder realizar estas acciones en la esfera de Riemann, veremos distintos sólidos platónicos inscritos en la esfera de Riemann, y veremos que las simetrías de estos poliedros inducen acciones en toda la esfera. Notamos que como las simetrías son rotaciones y estamos buscando acciones holomorfas en la esfera, tendremos que considerar nuestros grupos como subgrupos del grupo de las transformaciones de Mobius elípticas.

Sabemos que las transformaciones elípticas se pueden escribir de la forma T(z)=\lambda\frac{z-p}{1+\overline{p}z}, donde |\lambda|=1p es algún punto.

Solamente realizaremos los primeros dos casos (|G|=12|G|=24); el último sigue la misma idea.

Identificaremos la esfera de Riemann con \mathbb{C}\cup\{\infty\}.

Caso 1. |G|=12; el grupo que actuará en \hat{\mathbb{C}} es A_4.

Queremos encontrar una acción explícita de A_4 en la esfera de Riemann. Para esto, consideremos un tetraedro inscrito en la esfera de Riemann. Después de hacer varios cálculos elementales, se puede ver que si ponemos vértices (\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}),(0,\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}) y (0,0,1), entonces obtenemos un tetraedro inscrito en la esfera. Visto en el plano complejo, estos puntos corresponden a los puntos \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i,-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i,\frac{\sqrt{2}}{2}i e \infty.

Si enumeramos las raíces como 1,2,3 y 4, vemos que la función f(z)=\omega z donde \omega es una raíz cúbica primitiva de la unidad corresponde a la permutación (en notación cíclica) (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3).

Vemos que las permutaciones (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3)(1\hspace{0.1cm}3)(2\hspace{0.1cm}4) generan el grupo A_4. Debemos encontrar esta última permutación. Sin embargo, reemplazando valores en la transformación elíptica arriba, obtenemos la transformación g(z)=\frac{-2z+\sqrt{6}+i\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-i\sqrt{2})z+2}.

Esto implica que el grupo G=\langle f,g\rangle\simeq A_4 actúa en la esfera de Riemann, la proyección natural tiene 3 puntos rama, y esta acción es el grupo de simetrías del tetraedro que inscribimos en la esfera.

Caso 2.  |G|=24; el grupo que actuará es S_4.

Haciendo un proceso parecido al caso anterior, inscribimos un cubo en la esfera de Riemann con vértices (\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\pm\frac{\sqrt{3}}{3}). Por lo anterior, sabemos que el grupo de simetrías del cubo es isomorfo a S_4.

Los vértices del cubo, vistos en el plano complejo corresponden a \pm\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\pm i\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} y \pm\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\pm i\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.

Vemos que S_4 está generado por la trasposición (1\hspace{0.1cm}2) y por el ciclo (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3\hspace{0.1cm}4). Enumerando los pares de vértices adecuadamente (véase la descripción del grupo de simetrías del cubo arriba), podemos ver que la función f(z)=iz corresponde a una rotación del cubo, y es un ciclo de largo 4.

Debemos encontrar entonces una trasposición, y vemos que la función g(z)=\frac{z+i}{1+iz} sirve. Por lo tanto, obtenemos que G=\langle f,g\rangle actúa en \hat{\mathbb{C}} y es isomorfo a S_4.

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2 pensamientos en “Acciones de grupo en la esfera de Riemann

  1. Y CMO SE ARMA ESTAN MAL PORQUE ASI NO ES YO SOY UNAESTUDIANDE DE LA UNIVERSIA AUTONOKA

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