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El grupo de Picard y sus múltiples expresiones

En este post, veremos algunos grupos que resultan ser isomorfos al grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. En lo que sigue X siempre será una curva proyectiva no singular sobre \mathbb{C} (y usaremos la topología de Zariski), \mbox{Div}(X) será el grupo de divisores en X\mbox{PDiv}(X) el subgrupo de los divisores principales de X y \mbox{KDiv}(X) el subgrupo de los divisores canónicos de X.  

Para empezar, definiremos el grupo de Picard de X:

Definción Definimos el grupo de Picard de X como \mbox{Pic}(X):=\mbox{Div}(X)/\mbox{PDiv}(X).

Notamos de inmediato que tenemos la siguiente secuencia exacta

0\to\ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\stackrel{\mbox{inc}}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\deg}{\to}\mathbb{Z}\to0,

donde claramente \deg:\mbox{Div}(X)\to\mathbb{Z} es la función grado. Sea p\in X, y consideremos la aplicación \varphi que toma (la clase de) un divisor D en \mbox{Pic}(X) de grado d y lo envía a (la clase de) D-dp\in\ker\deg/\mbox{PDiv}(X).

Notamos que \mbox{inc}\circ\phi=\mbox{id}, y luego la secuencia exacta escinde. Esto implica que 

\mbox{Pic}(X)\simeq(\ker\deg/\mbox{PDiv}(X))\times\mathbb{Z}.

Por el Teorema de Abel, se tiene que \ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\simeq\mbox{Jac}(X) (el jacobiano de X), y luego se tiene que

\mbox{Pic}(X)\simeq\mbox{Jac}(X)\times\mathbb{Z}. 

Sea \mathcal{O}_X el haz de las funciones regulares, \mbox{LB}(X) el conjunto de todos los fibrados de líneas de X (módulo isomorfismo) y sea \mbox{Inv}(X) el conjunto de todos los haces invertibles en X (módulo isomorfismo).

Recordamos que un haz invertible \mathcal{F} es un haz que es localmente isomorfo al haz \mathcal{O}_X; es decir, para todo p\in X existe un abierto U\subset X que contiene a p tal que \mathcal{F}(U)\simeq\mathcal{O}_X(U). Se tiene que \mbox{Inv}(X) forma un grupo abeliano con la operación de producto tensorial (de haces), y con elemento neutro \mathcal{O}_X.

Isomorfismos entre los grupos

Si \mathcal{O}_X^* denota el haz de las funciones regulares que nunca toman el valor cero, \mathscr{K}^* denota el haz de las funciones racionales que son distintas de cero (mas bien el haz constante \underline{\mathscr{K}^*}) y Div_X denota el haz de divisores cuyas secciones Div_X(U) consisten de los divisores con soporte finito contenido en U, tenemos la siguiente secuencia exacta de haces:

0\to\mathcal{O}_X^*\to\mathscr{K}^*\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X\to0.

Esta secuencia exacta induce una secuencia exacta larga de cohomología (aquí estamos usando la cohomología de Cech):

0\to\mathcal{O}_X^*(X)\to\mathscr{K}^*(X)\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0;

el último término es 0 pues como \mathscr{K}^* es un haz constante, se tiene que H^1(X,\mathscr{K}^*)=0. Notamos que \mathcal{O}_X^*(X)\simeq\mathbb{C}^*, y entonces la secuencia exacta se convierte en

0\to\mathbb{C}^*\to\mathscr{K}(X)\backslash\{0\}\stackrel{\mbox{div}}{\to}\mbox{Div}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0.

Así, obtenemos que H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\simeq\mbox{Div}(X)/\mbox{KDiv}(X)\simeq\mbox{Pic}(X). Por lo tanto, hemos demostrado que

Proposición \mbox{Pic}(X)\simeq H^1(X,\mathcal{O}_X^*).

Sea ahora D un divisor en X, y sea \mathcal{O}[D] el haz de funciones racionales con polos acotados por D (por ejemplo \mathcal{O}[D](X)=L(D)=\{f\in\mathscr{K}_X:(f)+D\geq0\}). Se puede demostrar que \mathcal{O}[D] es un haz invertible, y que

\mathcal{O}[\cdot]:\mbox{Pic}(X)\to\mbox{Inv}(X)

tal que [D]\mapsto\mathcal{O}[D] es una aplicación bien definida, y de hecho es un homomorfismo de grupos.

Sea \mathcal{F}\in\mbox{Inv}(X), y sea \{U_i\}_{i\in I} un cubrimiento de X por abiertos tal que \mathcal{F} es trivial sobre cada U_i (es decir, es isomorfo a \mathcal{O}_X sobre cada U_i). Sea f_i un generador de \mathcal{F}(U_i).

Entonces para todo i,j\in I, existe una función t_{ij}\in\mathcal{O}_X^*(U_i\cap U_j) tal que f_i=t_{ij}f_j. Se tiene que la aplicación H_I:\mbox{Inv}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*) tal que \mathcal{F}\mapsto [(t_{ij})_{i,j}] está bien definida, y es independiente de la elección de generadores y del cubrimiento abierto. De hecho, se tiene el siguiente resultado:

Proposición \mathcal{O}[\cdot] y H_I son isomorfismos de grupos; además, se tiene que la composición

\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)\stackrel{H_I}{\to}H^1(X,\mathcal{O}_X^*)

es precisamente el isomorfismo que describimos antes (el isomorfismo que encontramos usando la secuencia exacta).

Consideremos ahora L\in \mbox{LB}(X). Si L está dado por la función \pi:L\to X, entonces definimos una sección regular de L sobre X como una función s:X\to L tal que \pi\circ s=\mbox{id} y tal que para toda carta de fibrado de líneas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U (para U\subset X abierto) se tiene que pr_2\circ\phi\circ s|_U es regular, donde pr_2 es la proyección en la segunda coordenada. Se define similarmente una sección racional.

Denotamos por \mathcal{O}\{L\} el haz de las secciones regulares en X. Se puede demostrar que \mathcal{O}\{L\} es un haz invertible, y así se tiene una función \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X).

Si s es una sección racional sobre X, podemos definir un divisor a partir de s de la siguiente forma: si U\subset X es abierto, p\in U y \phi:\pi^{-1}(U)\to \mathbb{C}\times U es una carta de fibrado de líneas, definimos \mbox{div}(s)(p):=\mbox{ord}_ppr_2\circ\phi\circ s. Se puede demostrar que está bien defindo este número.

Además, dadas dos secciones racionales s_1s_2, se tiene que \mbox{div}(s_1)\sim\mbox{div}(s_2) (equivalencia lineal). Por lo tanto, obtenemos una función [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X).

Proposición Tenemos que las funciones [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X) y \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X) son biyecciones. Además, la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)

es precisamente la función \mathcal{O}\{\cdot\}.

Por la proposición anterior, notamos que podemos dotar \mbox{LB}(X) de estructura de grupo abeliano; lo consideraremos como un grupo de ahora en adelante.

Por último, notamos que si tenemos un fibrado de líneas L\in\mbox{LB}(X) dado por una función \pi:L\to X, para que dos cartas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U y \psi:\pi^{-1}(V)\to\mathbb{C}\times V sean compatibles, necesitamos que o bien U\cap V=\varnothing, o que \phi\circ\psi^{-1} tenga la forma (z,p)\mapsto(f(p)z,p) para alguna función regular f en U\cap V que nunca toma el valor cero (es decir, f\in\mathcal{O}^*(U\cap V)).

Si \{U_i\}_{i\in I} es un cubrimiento por abiertos de X con cartas \phi_i:\pi^{-1}(U_i)\to\mathbb{C}\times U_i, entonces tenemos “funciones de transición” t_{ij}\in\mathcal{O}^*(U_i\cap U_j) tales que \phi_i\circ\phi_j^{-1} es de la forma (z,p)\mapsto(t_{ij}(p)z,p). Estas funciones además cumplen las condiciones de cociclo:

1. t_{ii}=\mbox{id} en U_i

2. t_{ji}t_{ij}=\mbox{id} en U_i\cap U_j

3. t_{ki}t_{ij}t_{jk}=\mbox{id} en U_i\cap U_j\cap U_k.

Por lo tanto, obtenemos una función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) tal que L\mapsto [(t_{ij})_{i,j\in I}]. Esta clase no depende del cubrimiento que tomemos. Llegamos ahora a nuestra última proposición:

Proposición La función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) es un isomorfismo de grupos. Además, se tiene que la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*)

(donde la última flecha es el morfismo obtenido de la secuencia exacta al principio) es precisamente el isomorfismo L\mapsto 1/H_{LB}(L).

Así hemos obtenido diversas maneras de ver el grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. Para resumir, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

 

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