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La dimensión del espacio de las formas holomorfas en una superficie de Riemann compacta

Sea X una superficie de Riemann compacta, y c una curva cerrada simple y suave en X. Primero, cubrimos c por una cantidad finita de discos (supongamos que cada disco es el dominio de una carta), y denotamos por \Omega la unión de todos los discos. Decimos que \Omega es una franja alrededor de c. 

Si hacemos que los discos sean suficientemente pequeños, podemos suponer que \Omega es un anillo, y que \Omega\backslash c consiste de dos anillos, digamos \Omega^+ y \Omega^-.

Supongamos que \Omega^- está a la izquierda de c (le damos una cierta orientación a c para que esto pase). Sea ahora \Omega_0 una franja más pequeña alrededor de c en \Omega (con conjuntos correspondientes \Omega_0^+ y \Omega_0^-).

Sea f:X\to\mathbb{R} tal que f(x)=1 si x\in\Omega_0^+, f(x)=0 si x\in X\backslash\Omega^-, y tal que f es de clase C^\infty en X\backslash c.

Definimos la forma diferencial \eta_c donde \eta_c es igual a df en \Omega\backslash c, y \eta_c es igual a 0 en (X\backslash\Omega)\cup c. Notamos que \eta_c es real, cerrada y  C^\infty, con soporte compacto.

Proposición Para toda forma diferencial suave \alpha, se tiene que

\int_c\alpha=\langle\alpha,^*\eta_c\rangle=-\iint_X\alpha\wedge\eta_c.

Demostración: Tenemos que

-\iint_X\alpha\wedge\eta_c=-\iint_{\Omega^-}\alpha\wedge df=\iint_{\Omega^-}df\wedge\alpha=\iint_{\Omega^-}d(f\alpha)-\iint_{\Omega^-}f\wedge d\alpha

=\iint_{\Omega^-}d(f\alpha)=\int_{\partial\Omega^-}f\alpha=\int_c\alpha.

\Box

Usamos la forma \eta_c para definir el número de intersección de dos clases de homología [a],[b]\in H_1(X,\mathbb{Z}) (donde a,b son dos curvas en X) como el número [a]\cdot [b]:=\iint_X\eta_a\wedge\eta_b. Es fácil ver que este número está bien definido, y depende solamente de las clases de homología de a y b. Además, cuenta el número de “intersecciones” que tienen a y b (intersecciones con signo).

Recordemos que una forma armónica es una forma diferencial \alpha tal que localmente \alpha está dada por df, donde f es una función armónica (\Delta f=0). Si \alpha es armónica, es fácil probar que localmente \alpha está dada por fdz+gd\overline{z}, donde f y \overline{g} son funciones holomorfas.

Sea H el espacio vectorial de las formas armónicas en X.

El siguiente teorema es de mucha importancia, y se usará para encontrar la dimensión de las formas holomorfas sobre X:

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género g, H tiene dimensión 2g (si consideramos formas reales, la dimensión es la dimensión real, y si estamos considerando formas complejas, la dimensión es compleja).

Demostración: Primero, supongamos que g=0, y supongamos que \alpha es una forma armónica distinta de 0. Para x_0\in X fijo, definimos la función u(x)=\int_{x_0}^x\alpha; u está bien definida porque X es simplemente conexo. 

Sea x_1\in X y sea \phi:U\to V una carta tal que x_1\in U. Sea \gamma un camino que une x_0 con x_1, y supongamos que x\in U. Si \alpha está dada por fdz+gd\overline{z} en U, con f y \overline{g} holomorfas, entonces

u(x)=\int_\gamma\alpha+\int_{x_1}^{x}\alpha=\int_\gamma\alpha+\int_{x_1}^{x}fdz+\int_{x_1}^{x}gd\overline{z}

=\int_\gamma\alpha+\int_{\phi(x_1)}^zf\circ\phi^{-1}dz+\int_{\phi(x_1)}^zg\circ\phi^{-1}d\overline{z}

=\int_\gamma\alpha+\int_{\phi(x_1)}^zf\circ\phi^{-1}dz+\overline{\int_{\phi(x_1)}^z\overline{g\circ\phi^{-1}}dz},

con z=\phi(x). Usando análisis complejo, notamos que u_z=f y u_{\overline{z}}=g; así du=\alpha. Además, por lo mismo, obtenemos que u es armónica. Sin embargo, como X es una superficie compacta, por el principio del módulo máximo obtenemos que u es necesariamente una función constante. Por lo tanto, \alpha=0, una contradicción. Concluimos que para g=0, el teorema es cierto.

Si g\geq 1, sea \{\aleph_1,\ldots,\aleph_{2g}\} una base canónica de homología para X, y consideremos la función \Phi:H\to\mathbb{C}^{2g} tal que \alpha\mapsto(\int_{\aleph_1}\alpha,\ldots,\int_{\aleph_{2g}}\alpha).

Está claro que \Phi es una transformación lineal. Si \ker\Phi no es trivial (digamos \beta\in\ker\Phi\backslash\{0\}), entonces podríamos definir la función armónica v(x)=\int_{x_0}^x\beta, y por el párrafo anterior esto llevaría a una contradicción.

Por lo tanto, tenemos que \ker\Phi=\{0\}, y luego \dim H\leq 2g. Sean a_j,b_j curvas cerradas (j=1,\ldots,2g) tales que [a_j]=\aleph_j para j=1,\ldots,g y [b_{j-g}]=\aleph_j para j=g+1,\ldots,2g. Sea \alpha_j=\eta_{b_j} para j=1,\ldots,g y \alpha_j=-\eta_{a_{j-g}} para j=g+1,\ldots,2g. Vemos entonces que

\int_{a_k}\alpha_j=-\iint_X\alpha_j\wedge\eta_{a_k}=\iint_X\eta_{a_k}\wedge\alpha_j

=\left\{\begin{array}{ll}a_k\cdot b_j=\delta_{k,j}&j=1,\ldots,g\\ 0&j=g+1,\ldots,2g\end{array}\right.

y

\int_{b_k}\alpha_j=-\iint_X\alpha_j\wedge\eta_{b_k}=\iint_X\eta_{b_k}\wedge\alpha_j

=\left\{\begin{array}{ll}0 &j=1,\ldots,g\\ a_{j-g}\cdot b_k=\delta_{(j-g),k}&j=g+1,\ldots,2g\end{array}\right.

Como \alpha_j\in L^2(X) para j=1,\ldots,2g, entonces existen diferenciales armónicas \beta_j tales que \int_c\alpha_j=\int_c\beta_j para toda curva cerrada simple c en X. En particular, tenemos que \int_{\aleph_k}\alpha_j=\int_{\aleph_k}\beta_j=\delta_{j,k} para j,k=1,\ldots,2g, y luego \Phi(\beta_j)=e_j (el vector canónico cuyas coordenadas son nulas, excepto la coordenada i-ésima que tiene un 1). Luego, \Phi(H)=\mathbb{C}^{2g}, y entonces \dim H=2g. \Box

Ahora demostraremos el teorema principal de este post:

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género g, el espacio vectorial \Omega_X^1 de formas diferenciales holomorfas tiene dimensión g.

Demostración: Demostraremos que H=\Omega_X^1\oplus\overline{\Omega_X^1}, donde \overline{\Omega_X^1} denota las formas tales que su conjugado es holomorfa.

Está claro que \Omega_X^1\cap\overline{\Omega_X^1}=\{0\}. Vemos que si \alpha\in H, entonces \alpha=\frac{1}{2}(\alpha+i^*\alpha)+\frac{1}{2}(\alpha-i^*\alpha), donde si \alpha=fdx+gdy, ^*\alpha=-gdx+fdy. Es fácil ver que esta es justamente la representación de \alpha en la suma de elementos de \Omega_X^1 y \overline{\Omega_X^1}, y luego tenemos una descomposición para H.

Tenemos que \omega\mapsto\overline{\omega} es un \mathbb{R}-isomorfismo de \Omega_X^1 en \overline{\Omega_X^1}, y luego

\dim_\mathbb{C}\Omega_X^1=\frac{1}{2}\dim_\mathbb{R}\Omega_X^1=\frac{1}{2}\dim_{\mathbb{R}}\overline{\Omega_X^1}=g. \Box

 

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