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Toros simples

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión g, y sea \Gamma un reticulado para que V/\Gamma sea un toro complejo. Decimos que un conjunto T\subseteq V/\Gamma es un subtoro si existe un subespacio vectorial (complejo!) W\leq V tal que T=W/(W\cap\Gamma).

A priori uno pensaría que un toro complejo tendría abundantes subtoros! En el caso real, por ejemplo, si tomamos el toro (real) \mathbb{R}^2/\Gamma, podemos tomar el subespacio real generado por cualquier elemento de \Gamma, y obtenemos un subtoro de dimensión 1. Sorprendentemente, esto no ocurre en el caso complejo, y es precisamente la condición de que W sea un subespacio vectorial complejo que cambia las cosas. El siguiente ejercicio es realmente muy bonito:

Dado un espacio vectorial complejo V de dimensión g, podemos verlo como un espacio vectorial real y escoger una base \{v_1,\ldots,v_{2g}\}. Así, podemos ver los elementos de \mbox{GL}(2g,\mathbb{R})\subseteq\mathbb{R}^{(2g)^2} como reticulados, donde a la matriz [f_1\cdots f_{2g}] con columnas f_i le asociamos el reticulado \langle f_1,\ldots,f_{2g}\rangle_{\mathbb{Z}}.

Proposición: Existe una sucesión de cerrados Zariski (F_n)_{n\in \mathbb{N}} tales que para todo reticulado \Gamma\in\mathbb{R}^{(2g)^2}\backslash\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n, se tiene que el toro (complejo) V/\Gamma asociado a \Gamma es simple; es decir, no tiene subtoros no triviales.

Demostración: Primero encontraremos condiciones sobre un reticulado \Gamma para ver cuándo tiene algún subtoro de dimensión r. Abusaremos de la notación y escribiremos \Gamma para denotar tanto el reticulado como para denotar una matriz invertible.

Queremos primero que existan \gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\in\Gamma linealmente independientes sobre \mathbb{R} tales que \langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R} sea un subespacio vectorial complejo de V. Para esto, es necesario y suficiente que i\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R}=\langle\gamma_1,\ldots,\gamma_{2r}\rangle_\mathbb{R}.

Notamos que cada elemento de \Gamma es realmente la imagen de un vector con coordenadas enteras a través de la matriz \Gamma. Segundo, vemos que la condición arriba es equivalente a que \mbox{rank}_\mathbb{R}(\gamma_1,\ldots,\gamma_r,i\gamma_1,\ldots,i\gamma_{2r})=2r.

Entonces, queremos que existan a_1,\ldots,a_{2r}\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r} tales que \mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r y \mbox{rank}_\mathbb{R}(\Gamma a_1,\ldots,\Gamma a_{2r},i\Gamma a_1,\ldots,i\Gamma a_{2r})=2r. Esto implica que para todo j, el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución:

[\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}]\vec{x}=i\Gamma a_j.

Al pivotear la matriz [\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}], las primeras 2r filas quedan con pivotes no nulos, y luego las 2g-2r filas restantes quedan nulas. Para que exista solución al sistema, debemos pedir que además al escalonar la matriz [\Gamma a_1\cdots\Gamma a_{2r}|i\Gamma a_j], la última columna quede con las últimas 2g-2r filas nulas también. Esto impone 2r(2g-2r) ecuaciones sobre los coeficientes de \Gamma, y entonces

\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}

es un cerrado en la topología de Zariski, y está definido por r(2g-2r) ecuaciones. Por lo tanto, para que un toro V/\Gamma tenga un subtoro de dimensión r, es necesario y suficiente que \Gamma esté en el conjunto

\bigcup_{\stackrel{(a_1,\ldots,a_{2r})\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r}}{\mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r}}\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}.

Así, obtenemos que para todo

\Gamma\in\mathbb{R}^{(2g)^2}\backslash\left(\{A:\mbox{det}(A)=0\}\cup\bigcup_{r=1}^{2g}\bigcup_{\stackrel{(a_1,\ldots,a_{2r})\in(\mathbb{Z}^{2g})^{2r}}{\mbox{rank}_\mathbb{R}(a_1,\ldots,a_{2r})=2r}}\{A\in\mbox{GL}(2g,\mathbb{R}):\mbox{rank}_\mathbb{R}(A a_1,\ldots,A a_{2r},iA a_1,\ldots,iA a_{2r})=2r\}\right),

el toro asociado es simple.

Las consecuencias de esto son muy interesantes; esta proposición implica que un toro “general” es simple. Bastante distinto que el caso real!

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Acciones de grupo en la esfera de Riemann

Hace tiempo que no subo nada nuevo, pero ahora que estoy preparando mi examen oral espero subir más ejercicios y temas interesantes que vaya encontrando. Este post es una aplicación bonita de la teoría de acciones de grupo en una superficie de Riemann, y se relaciona también con las simetrías de los sólidos platónicos.

Restricciones para que un grupo actúe en la esfera de Riemann

Se sabe que si G es un grupo finito que actúa holomorfa y efectivamente en una superficie de Riemann X compacta de género g (o sea, para todo g\in G, p\mapsto g\cdot p es holomorfa y el núcleo de la acción es trivial), entonces el cuociente X/G es también una superficie de Riemann. Además, si \pi:X\to X/G es la proyección natural, se tiene la fórmula de Riemann-Hurwitz

2g-2=|G|\left[2g_{X/G}-2+\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{r_i})\right],

donde hay k puntos rama de \pi en X/G (digamos que son y_1,\ldots,y_k) y r_i es el orden del estabilizador de cualquiera de los preimágenes de y_i.

En este post me quiero enfocar en la esfera de Riemann \hat{\mathbb{C}}. En este caso, g=0, y es fácil ver (por la misma fórmula arriba) que el género del cuociente es también 0. Así, la fórmula queda

-2=|G|(-2+R),

donde R=\sum_{i=1}^k(1-\frac{1}{r_i}).

Se puede demostrar que k\neq 1, y el caso k=2 se realiza, por ejemplo, cuando G es el grupo cíclico generado por la función z\mapsto\omega z, donde \omega es una raíz |G|-ésima primitiva de la unidad.

El caso k=3 es lo que me interesa describir en este post. Se puede demostrar que si k=3 entonces ocurre lo siguiente:

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,2,r\}\Rightarrow |G|=2r

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,2,3\}\Rightarrow |G|=12

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,3,4\}\Rightarrow |G|=24

\{r_i\}_{i=1}^k=\{2,3,5\}\Rightarrow |G|=60

Para la demostración de estos hechos, véase “Algebraic Curves and Riemann Surfaces” de Rick Miranda, capítulo III, Lema 3.8. Estas son las únicas posibilidades que tiene un grupo que actúa sobre \hat{\mathbb{C}}.

Notamos que si |G|=2r, entonces podemos realizar esta acción con el grupo G=\langle f,g\rangle, donde f(z)=\omega z para una raíz r-ésima primitiva de la unidad y g(z)=\frac{1}{z}. Este grupo es el grupo dihedral D_r.

Veremos en detalle algunas realizaciones de los otros casos, pero primero estudiaremos las simetrías de los sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos y sus simetrías

Los sólidos platónicos son poliedros convexos regulares. Fueron estudiados por Teeteto, Pitágoras, Euclides y Platón, y se cree que Teeteto fue el primero en demostrar que solamente existen cinco sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

El grupo de simetrías de un sólido platónico es el grupo de las permutaciones de los vértices del sólido que provienen de una rotación del sólido completo; si X es el sólido platónico, entonces denotaremos su grupo de simetrías por S(X).

El poliedro dual de un sólido platónico es la figura obtenida de la siguiente manera: para cada cara en el sólido original colocamos un vértice, y estas vértices se unen por una arista solamente si las caras son adyacentes. Es fácil ver que el tetraedro es su propio dual, el dual del cubo es el octaedro y el dual del icosaedro es el dodecaedro.

Se ve que un sólido platónico y su dual comparten el mismo grupo de simetrías, y luego para calcular los grupos de simetrías de los sólidos platónicos, basta calcular las simetrías del tetraedro, el cubo y el icosaedro.

Proposición El grupo de simetrías del tetraedro es isomorfo a A_4, el grupo alternante en 4 letras.

Demostración Sea X un tetraedro. Como X tiene 4 vértices, entonces S(X)\leq S_4. Es fácil ver que todas las permutaciones de los 4 vértices corresponden a rotaciones y reflexiones de X. Como las reflexiones no se pueden obtener con rotaciones, vemos que S(X) es un subgrupo propio de S_4. Además, los 3-ciclos corresponden a rotaciones de X (que por definición son simetrías de X), y como los 3-ciclos generan A_4, obtenemos lo buscado. \Box

Proposición El grupo de simetrías de un cubo es isomorfo a S_4, el grupo simétrico en 4 letras.

Demostración Sea X un cubo. Sean x_1,x_2,\ldots,x_8 los vértices de X, tales que x_i y x_{i+4} son vértices opuestos en el cubo para i=1,\ldots,4. Notamos que cualquier rotación del cubo lleva vértices opuestos en vértices opuestos. Denotamos 1:=\{x_1,x_5\}, 2:=\{x_2,x_6\}3:=\{x_3,x_7\}4:=\{x_4,x_8\}, y por lo dicho, cualquier rotación de X inducirá una permutación de estos números.

Esto implica que S(X)\leq S_4. Por el Teorema de Lagrange, basta encontrar más de 12 rotaciones del cubo para poder establecer una igualdad. Considere el eje que pasa por el centro de una cara y atraviesa el centro de la cara opuesta. Alrededor de este eje podemos rotar, y obtenemos 4 rotaciones (incluyendo la identidad). Podemos hacer esto en 3 ejes distintos, y así obtenemos 9+1=10 permutaciones distintas en S(X).

Considere ahora un eje que corta el centro de una arista y también corta el centro de la arista opuesta. Al rotar alrededor este eje en 180 grados, obtenemos 6 permutaciones nuevas (pues podemos hacer esto alrededor de 6 ejes distintos). Así, obtenemos más de 12 permutaciones, y entonces S(X)\simeq S_4\Box

Para no alargar tanto esta entrada, solamente enunciaré la última proposición:

Proposición El grupo de simetrías de un dodecaedro es isomorfo a A_5.

La demostración de esta proposición (y más información con respecto a los sólidos platónicos) se puede encontrar en el siguiente enlace: Platonic Solids, professor Yongwhan Lim, Stanford University.

Podemos observar que los órdenes de estos grupos de simetrías coinciden exactamente con los últimos tres casos de grupos actuando sobre la esfera de Riemann mencionados arriba. Mostraremos ahora que los grupos que actúan en los sólidos platónicos efectivamente actúan en la esfera de Riemann.

La realización de estas acciones

Para poder realizar estas acciones en la esfera de Riemann, veremos distintos sólidos platónicos inscritos en la esfera de Riemann, y veremos que las simetrías de estos poliedros inducen acciones en toda la esfera. Notamos que como las simetrías son rotaciones y estamos buscando acciones holomorfas en la esfera, tendremos que considerar nuestros grupos como subgrupos del grupo de las transformaciones de Mobius elípticas.

Sabemos que las transformaciones elípticas se pueden escribir de la forma T(z)=\lambda\frac{z-p}{1+\overline{p}z}, donde |\lambda|=1p es algún punto.

Solamente realizaremos los primeros dos casos (|G|=12|G|=24); el último sigue la misma idea.

Identificaremos la esfera de Riemann con \mathbb{C}\cup\{\infty\}.

Caso 1. |G|=12; el grupo que actuará en \hat{\mathbb{C}} es A_4.

Queremos encontrar una acción explícita de A_4 en la esfera de Riemann. Para esto, consideremos un tetraedro inscrito en la esfera de Riemann. Después de hacer varios cálculos elementales, se puede ver que si ponemos vértices (\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}),(-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}),(0,\frac{2\sqrt{2}}{3},-\frac{1}{3}) y (0,0,1), entonces obtenemos un tetraedro inscrito en la esfera. Visto en el plano complejo, estos puntos corresponden a los puntos \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i,-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i,\frac{\sqrt{2}}{2}i e \infty.

Si enumeramos las raíces como 1,2,3 y 4, vemos que la función f(z)=\omega z donde \omega es una raíz cúbica primitiva de la unidad corresponde a la permutación (en notación cíclica) (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3).

Vemos que las permutaciones (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3)(1\hspace{0.1cm}3)(2\hspace{0.1cm}4) generan el grupo A_4. Debemos encontrar esta última permutación. Sin embargo, reemplazando valores en la transformación elíptica arriba, obtenemos la transformación g(z)=\frac{-2z+\sqrt{6}+i\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-i\sqrt{2})z+2}.

Esto implica que el grupo G=\langle f,g\rangle\simeq A_4 actúa en la esfera de Riemann, la proyección natural tiene 3 puntos rama, y esta acción es el grupo de simetrías del tetraedro que inscribimos en la esfera.

Caso 2.  |G|=24; el grupo que actuará es S_4.

Haciendo un proceso parecido al caso anterior, inscribimos un cubo en la esfera de Riemann con vértices (\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\pm\frac{\sqrt{3}}{3},\pm\frac{\sqrt{3}}{3}). Por lo anterior, sabemos que el grupo de simetrías del cubo es isomorfo a S_4.

Los vértices del cubo, vistos en el plano complejo corresponden a \pm\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\pm i\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} y \pm\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\pm i\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.

Vemos que S_4 está generado por la trasposición (1\hspace{0.1cm}2) y por el ciclo (1\hspace{0.1cm}2\hspace{0.1cm}3\hspace{0.1cm}4). Enumerando los pares de vértices adecuadamente (véase la descripción del grupo de simetrías del cubo arriba), podemos ver que la función f(z)=iz corresponde a una rotación del cubo, y es un ciclo de largo 4.

Debemos encontrar entonces una trasposición, y vemos que la función g(z)=\frac{z+i}{1+iz} sirve. Por lo tanto, obtenemos que G=\langle f,g\rangle actúa en \hat{\mathbb{C}} y es isomorfo a S_4.

Permutaciones sin puntos fijos; un resultado/ejercicio sorprendente

En este post, vamos a calcular la cantidad de elementos del grupo simétrico en n letras S_n que no tienen puntos fijos. Con este número, calcularemos la probabilidad de que una permutación en S_n no tenga puntos fijos, y encontraremos el límite asintótico cuando n\to\infty. El resultado es elegante y sorprendente.

Meta 1:

Queremos contar la cantidad de elementos que tiene el conjunto

P_n=\{\sigma\in S_n:\sigma(x)\neq x\mbox{ para todo }x\in\{1,\ldots,n\}\}.

Procedimiento:

Consideremos el grupo \{\sigma\in S_n:\sigma(1)=1\}\leq S_n. Notamos que este grupo es isomorfo a S_{n-1}, y lo denotaremos (por el momento) como S_{n-1}(1). De hecho, para todo x\in\{1,\ldots,n\} y para cualquier \eta\in S_n tal que \eta(1)=x, el subgrupo S_{n-1}(x)=\{\sigma\in S_n:\sigma(x)=x\} es isomorfo a S_{n-1}S_{n-1}(x)=\eta S_{n-1}(1)\eta^{-1}.

Dejaremos la notación S_{n-1}(1), y denotaremos este subgrupo simplemente por S_{n-1}.

Notamos que S_{n-1} tiene precisamente n conjugados, ya que \sigma S_{n-1}\sigma^{-1} depende solamente de \sigma(1), y hay n posibles valores para este número. Otra forma de ver el mismo hecho es que el normalizador de S_{n-1} en S_n es S_{n-1}, y luego la cantidad de conjugados de S_{n-1} es igual a [S_n:N(S_{n-1})]=[S_n:S_{n-1}]=n.

Observamos que P_n=S_n\backslash\left(\bigcup_{\sigma\in S_n}\sigma S_{n-1}\sigma^{-1}\right), y entonces para calcular la cardinalidad de P_n, basta calcular la cardinalidad de \bigcup_{\sigma\in S_n}\sigma S_{n-1}\sigma^{-1}.

Podemos ver que para todo x,y\in\{1,\ldots,n\} distintos, se tiene que S_{n-1}(x)\cap S_{n-1}(y) es igual al conjunto de todos los elementos en S_{n-1}(x) que fijan y, y luego es isomorfo a S_{n-2}. Siguiendo la misma lógica, vemos que la intersección de k de estos subgrupos es isomorfo a S_{n-k}, y luego tiene cardinalidad (n-k)!.

Recordemos ahora el Principio de Inclusión-Exclusión, que dice que si A_1,\ldots,A_n son conjuntos, entonces

\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}(-1)^{k-1}\left|\bigcap_{i=1}^kA_i\right|.

Así, si \sigma_i\in S_n es tal que \sigma_i(1)=i, tenemos que

|S_n\backslash P_n|=\left|\bigcup_{i=1}^n\sigma_iS_{n-1}\sigma_i^{-1}\right|=\sum_{k=1}^n\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}(-1)^{k-1}\left|\bigcap_{i=1}^k\sigma_iS_{n-1}\sigma_i^{-1}\right|

La gracia de esta fórmula en el contexto en el cual estamos trabajando nosotros es que ya conocemos las cardinalidades de todas las intersecciones (por lo que dijimos anteriormente).

Entonces

\left|\bigcup_{i=1}^n\sigma_iS_{n-1}\sigma_i^{-1}\right|=\sum_{k=1}^n\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}(-1)^{k-1}(n-k)!

=\sum_{k=1}^n\left[(-1)^{k-1}(n-k)!\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n}1\right].

Podemos ver (por inducción, por ejemplo) que

|\{(i_1,\ldots,i_k):1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n\}|=\binom{n}{k}.

Reemplazando esto entonces, obtenemos que

\left|\bigcup_{i=1}^n\sigma_iS_{n-1}\sigma_i^{-1}\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}(n-k)!\binom{n}{k}.

Finalmente entonces, obtenemos el cálculo buscado:

|P_n|=n!-\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}(n-k)!\binom{n}{k}=\sum_{k=2}^n(-1)^{k}(n-k)!\binom{n}{k}.

Meta 2:

Queremos calcular ahora la probabilidad \mathbb{P}(P_n) (la probabilidad de que al elegir una permutación de S_n, sea justamente una permutación sin puntos fijos), y queremos encontrar \lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(P_n).

Procedimiento:

Tenemos que \mathbb{P}(P_n)=\frac{1}{n!}|P_n|=\sum_{k=2}^n(-1)^{k}\frac{1}{k!}. Entonces

\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(P_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}=\frac{1}{e}.

¡Qué hermoso! Entonces lo que hemos calculado básicamente es que al elegir una permutación cualquiera, aproximadamente 1/e de las veces tal permutación no tendrá puntos fijos. Qué impresionante, ¿no?

El grupo de Picard y sus múltiples expresiones

En este post, veremos algunos grupos que resultan ser isomorfos al grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. En lo que sigue X siempre será una curva proyectiva no singular sobre \mathbb{C} (y usaremos la topología de Zariski), \mbox{Div}(X) será el grupo de divisores en X\mbox{PDiv}(X) el subgrupo de los divisores principales de X y \mbox{KDiv}(X) el subgrupo de los divisores canónicos de X.  

Para empezar, definiremos el grupo de Picard de X:

Definción Definimos el grupo de Picard de X como \mbox{Pic}(X):=\mbox{Div}(X)/\mbox{PDiv}(X).

Notamos de inmediato que tenemos la siguiente secuencia exacta

0\to\ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\stackrel{\mbox{inc}}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\deg}{\to}\mathbb{Z}\to0,

donde claramente \deg:\mbox{Div}(X)\to\mathbb{Z} es la función grado. Sea p\in X, y consideremos la aplicación \varphi que toma (la clase de) un divisor D en \mbox{Pic}(X) de grado d y lo envía a (la clase de) D-dp\in\ker\deg/\mbox{PDiv}(X).

Notamos que \mbox{inc}\circ\phi=\mbox{id}, y luego la secuencia exacta escinde. Esto implica que 

\mbox{Pic}(X)\simeq(\ker\deg/\mbox{PDiv}(X))\times\mathbb{Z}.

Por el Teorema de Abel, se tiene que \ker\deg/\mbox{PDiv}(X)\simeq\mbox{Jac}(X) (el jacobiano de X), y luego se tiene que

\mbox{Pic}(X)\simeq\mbox{Jac}(X)\times\mathbb{Z}. 

Sea \mathcal{O}_X el haz de las funciones regulares, \mbox{LB}(X) el conjunto de todos los fibrados de líneas de X (módulo isomorfismo) y sea \mbox{Inv}(X) el conjunto de todos los haces invertibles en X (módulo isomorfismo).

Recordamos que un haz invertible \mathcal{F} es un haz que es localmente isomorfo al haz \mathcal{O}_X; es decir, para todo p\in X existe un abierto U\subset X que contiene a p tal que \mathcal{F}(U)\simeq\mathcal{O}_X(U). Se tiene que \mbox{Inv}(X) forma un grupo abeliano con la operación de producto tensorial (de haces), y con elemento neutro \mathcal{O}_X.

Isomorfismos entre los grupos

Si \mathcal{O}_X^* denota el haz de las funciones regulares que nunca toman el valor cero, \mathscr{K}^* denota el haz de las funciones racionales que son distintas de cero (mas bien el haz constante \underline{\mathscr{K}^*}) y Div_X denota el haz de divisores cuyas secciones Div_X(U) consisten de los divisores con soporte finito contenido en U, tenemos la siguiente secuencia exacta de haces:

0\to\mathcal{O}_X^*\to\mathscr{K}^*\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X\to0.

Esta secuencia exacta induce una secuencia exacta larga de cohomología (aquí estamos usando la cohomología de Cech):

0\to\mathcal{O}_X^*(X)\to\mathscr{K}^*(X)\stackrel{\mbox{div}}{\to}Div_X(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0;

el último término es 0 pues como \mathscr{K}^* es un haz constante, se tiene que H^1(X,\mathscr{K}^*)=0. Notamos que \mathcal{O}_X^*(X)\simeq\mathbb{C}^*, y entonces la secuencia exacta se convierte en

0\to\mathbb{C}^*\to\mathscr{K}(X)\backslash\{0\}\stackrel{\mbox{div}}{\to}\mbox{Div}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\to0.

Así, obtenemos que H^1(X,\mathcal{O}_X^*)\simeq\mbox{Div}(X)/\mbox{KDiv}(X)\simeq\mbox{Pic}(X). Por lo tanto, hemos demostrado que

Proposición \mbox{Pic}(X)\simeq H^1(X,\mathcal{O}_X^*).

Sea ahora D un divisor en X, y sea \mathcal{O}[D] el haz de funciones racionales con polos acotados por D (por ejemplo \mathcal{O}[D](X)=L(D)=\{f\in\mathscr{K}_X:(f)+D\geq0\}). Se puede demostrar que \mathcal{O}[D] es un haz invertible, y que

\mathcal{O}[\cdot]:\mbox{Pic}(X)\to\mbox{Inv}(X)

tal que [D]\mapsto\mathcal{O}[D] es una aplicación bien definida, y de hecho es un homomorfismo de grupos.

Sea \mathcal{F}\in\mbox{Inv}(X), y sea \{U_i\}_{i\in I} un cubrimiento de X por abiertos tal que \mathcal{F} es trivial sobre cada U_i (es decir, es isomorfo a \mathcal{O}_X sobre cada U_i). Sea f_i un generador de \mathcal{F}(U_i).

Entonces para todo i,j\in I, existe una función t_{ij}\in\mathcal{O}_X^*(U_i\cap U_j) tal que f_i=t_{ij}f_j. Se tiene que la aplicación H_I:\mbox{Inv}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}_X^*) tal que \mathcal{F}\mapsto [(t_{ij})_{i,j}] está bien definida, y es independiente de la elección de generadores y del cubrimiento abierto. De hecho, se tiene el siguiente resultado:

Proposición \mathcal{O}[\cdot] y H_I son isomorfismos de grupos; además, se tiene que la composición

\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)\stackrel{H_I}{\to}H^1(X,\mathcal{O}_X^*)

es precisamente el isomorfismo que describimos antes (el isomorfismo que encontramos usando la secuencia exacta).

Consideremos ahora L\in \mbox{LB}(X). Si L está dado por la función \pi:L\to X, entonces definimos una sección regular de L sobre X como una función s:X\to L tal que \pi\circ s=\mbox{id} y tal que para toda carta de fibrado de líneas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U (para U\subset X abierto) se tiene que pr_2\circ\phi\circ s|_U es regular, donde pr_2 es la proyección en la segunda coordenada. Se define similarmente una sección racional.

Denotamos por \mathcal{O}\{L\} el haz de las secciones regulares en X. Se puede demostrar que \mathcal{O}\{L\} es un haz invertible, y así se tiene una función \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X).

Si s es una sección racional sobre X, podemos definir un divisor a partir de s de la siguiente forma: si U\subset X es abierto, p\in U y \phi:\pi^{-1}(U)\to \mathbb{C}\times U es una carta de fibrado de líneas, definimos \mbox{div}(s)(p):=\mbox{ord}_ppr_2\circ\phi\circ s. Se puede demostrar que está bien defindo este número.

Además, dadas dos secciones racionales s_1s_2, se tiene que \mbox{div}(s_1)\sim\mbox{div}(s_2) (equivalencia lineal). Por lo tanto, obtenemos una función [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X).

Proposición Tenemos que las funciones [\mbox{div}]:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Pic}(X) y \mathcal{O}\{\cdot\}:\mbox{LB}(X)\to\mbox{Inv}(X) son biyecciones. Además, la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\stackrel{\mathcal{O}[\cdot]}{\to}\mbox{Inv}(X)

es precisamente la función \mathcal{O}\{\cdot\}.

Por la proposición anterior, notamos que podemos dotar \mbox{LB}(X) de estructura de grupo abeliano; lo consideraremos como un grupo de ahora en adelante.

Por último, notamos que si tenemos un fibrado de líneas L\in\mbox{LB}(X) dado por una función \pi:L\to X, para que dos cartas \phi:\pi^{-1}(U)\to\mathbb{C}\times U y \psi:\pi^{-1}(V)\to\mathbb{C}\times V sean compatibles, necesitamos que o bien U\cap V=\varnothing, o que \phi\circ\psi^{-1} tenga la forma (z,p)\mapsto(f(p)z,p) para alguna función regular f en U\cap V que nunca toma el valor cero (es decir, f\in\mathcal{O}^*(U\cap V)).

Si \{U_i\}_{i\in I} es un cubrimiento por abiertos de X con cartas \phi_i:\pi^{-1}(U_i)\to\mathbb{C}\times U_i, entonces tenemos “funciones de transición” t_{ij}\in\mathcal{O}^*(U_i\cap U_j) tales que \phi_i\circ\phi_j^{-1} es de la forma (z,p)\mapsto(t_{ij}(p)z,p). Estas funciones además cumplen las condiciones de cociclo:

1. t_{ii}=\mbox{id} en U_i

2. t_{ji}t_{ij}=\mbox{id} en U_i\cap U_j

3. t_{ki}t_{ij}t_{jk}=\mbox{id} en U_i\cap U_j\cap U_k.

Por lo tanto, obtenemos una función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) tal que L\mapsto [(t_{ij})_{i,j\in I}]. Esta clase no depende del cubrimiento que tomemos. Llegamos ahora a nuestra última proposición:

Proposición La función H_{LB}:\mbox{LB}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*) es un isomorfismo de grupos. Además, se tiene que la composición

\mbox{LB}(X)\stackrel{[\mbox{div}]}{\to}\mbox{Pic}(X)\to H^1(X,\mathcal{O}^*)

(donde la última flecha es el morfismo obtenido de la secuencia exacta al principio) es precisamente el isomorfismo L\mapsto 1/H_{LB}(L).

Así hemos obtenido diversas maneras de ver el grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. Para resumir, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

 

La dimensión del espacio de las formas holomorfas en una superficie de Riemann compacta

Sea X una superficie de Riemann compacta, y c una curva cerrada simple y suave en X. Primero, cubrimos c por una cantidad finita de discos (supongamos que cada disco es el dominio de una carta), y denotamos por \Omega la unión de todos los discos. Decimos que \Omega es una franja alrededor de c. 

Si hacemos que los discos sean suficientemente pequeños, podemos suponer que \Omega es un anillo, y que \Omega\backslash c consiste de dos anillos, digamos \Omega^+ y \Omega^-.

Supongamos que \Omega^- está a la izquierda de c (le damos una cierta orientación a c para que esto pase). Sea ahora \Omega_0 una franja más pequeña alrededor de c en \Omega (con conjuntos correspondientes \Omega_0^+ y \Omega_0^-).

Sea f:X\to\mathbb{R} tal que f(x)=1 si x\in\Omega_0^+, f(x)=0 si x\in X\backslash\Omega^-, y tal que f es de clase C^\infty en X\backslash c.

Definimos la forma diferencial \eta_c donde \eta_c es igual a df en \Omega\backslash c, y \eta_c es igual a 0 en (X\backslash\Omega)\cup c. Notamos que \eta_c es real, cerrada y  C^\infty, con soporte compacto.

Proposición Para toda forma diferencial suave \alpha, se tiene que

\int_c\alpha=\langle\alpha,^*\eta_c\rangle=-\iint_X\alpha\wedge\eta_c.

Demostración: Tenemos que

-\iint_X\alpha\wedge\eta_c=-\iint_{\Omega^-}\alpha\wedge df=\iint_{\Omega^-}df\wedge\alpha=\iint_{\Omega^-}d(f\alpha)-\iint_{\Omega^-}f\wedge d\alpha

=\iint_{\Omega^-}d(f\alpha)=\int_{\partial\Omega^-}f\alpha=\int_c\alpha.

\Box

Usamos la forma \eta_c para definir el número de intersección de dos clases de homología [a],[b]\in H_1(X,\mathbb{Z}) (donde a,b son dos curvas en X) como el número [a]\cdot [b]:=\iint_X\eta_a\wedge\eta_b. Es fácil ver que este número está bien definido, y depende solamente de las clases de homología de a y b. Además, cuenta el número de “intersecciones” que tienen a y b (intersecciones con signo).

Recordemos que una forma armónica es una forma diferencial \alpha tal que localmente \alpha está dada por df, donde f es una función armónica (\Delta f=0). Si \alpha es armónica, es fácil probar que localmente \alpha está dada por fdz+gd\overline{z}, donde f y \overline{g} son funciones holomorfas.

Sea H el espacio vectorial de las formas armónicas en X.

El siguiente teorema es de mucha importancia, y se usará para encontrar la dimensión de las formas holomorfas sobre X:

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género g, H tiene dimensión 2g (si consideramos formas reales, la dimensión es la dimensión real, y si estamos considerando formas complejas, la dimensión es compleja).

Demostración: Primero, supongamos que g=0, y supongamos que \alpha es una forma armónica distinta de 0. Para x_0\in X fijo, definimos la función u(x)=\int_{x_0}^x\alpha; u está bien definida porque X es simplemente conexo. 

Sea x_1\in X y sea \phi:U\to V una carta tal que x_1\in U. Sea \gamma un camino que une x_0 con x_1, y supongamos que x\in U. Si \alpha está dada por fdz+gd\overline{z} en U, con f y \overline{g} holomorfas, entonces

u(x)=\int_\gamma\alpha+\int_{x_1}^{x}\alpha=\int_\gamma\alpha+\int_{x_1}^{x}fdz+\int_{x_1}^{x}gd\overline{z}

=\int_\gamma\alpha+\int_{\phi(x_1)}^zf\circ\phi^{-1}dz+\int_{\phi(x_1)}^zg\circ\phi^{-1}d\overline{z}

=\int_\gamma\alpha+\int_{\phi(x_1)}^zf\circ\phi^{-1}dz+\overline{\int_{\phi(x_1)}^z\overline{g\circ\phi^{-1}}dz},

con z=\phi(x). Usando análisis complejo, notamos que u_z=f y u_{\overline{z}}=g; así du=\alpha. Además, por lo mismo, obtenemos que u es armónica. Sin embargo, como X es una superficie compacta, por el principio del módulo máximo obtenemos que u es necesariamente una función constante. Por lo tanto, \alpha=0, una contradicción. Concluimos que para g=0, el teorema es cierto.

Si g\geq 1, sea \{\aleph_1,\ldots,\aleph_{2g}\} una base canónica de homología para X, y consideremos la función \Phi:H\to\mathbb{C}^{2g} tal que \alpha\mapsto(\int_{\aleph_1}\alpha,\ldots,\int_{\aleph_{2g}}\alpha).

Está claro que \Phi es una transformación lineal. Si \ker\Phi no es trivial (digamos \beta\in\ker\Phi\backslash\{0\}), entonces podríamos definir la función armónica v(x)=\int_{x_0}^x\beta, y por el párrafo anterior esto llevaría a una contradicción.

Por lo tanto, tenemos que \ker\Phi=\{0\}, y luego \dim H\leq 2g. Sean a_j,b_j curvas cerradas (j=1,\ldots,2g) tales que [a_j]=\aleph_j para j=1,\ldots,g y [b_{j-g}]=\aleph_j para j=g+1,\ldots,2g. Sea \alpha_j=\eta_{b_j} para j=1,\ldots,g y \alpha_j=-\eta_{a_{j-g}} para j=g+1,\ldots,2g. Vemos entonces que

\int_{a_k}\alpha_j=-\iint_X\alpha_j\wedge\eta_{a_k}=\iint_X\eta_{a_k}\wedge\alpha_j

=\left\{\begin{array}{ll}a_k\cdot b_j=\delta_{k,j}&j=1,\ldots,g\\ 0&j=g+1,\ldots,2g\end{array}\right.

y

\int_{b_k}\alpha_j=-\iint_X\alpha_j\wedge\eta_{b_k}=\iint_X\eta_{b_k}\wedge\alpha_j

=\left\{\begin{array}{ll}0 &j=1,\ldots,g\\ a_{j-g}\cdot b_k=\delta_{(j-g),k}&j=g+1,\ldots,2g\end{array}\right.

Como \alpha_j\in L^2(X) para j=1,\ldots,2g, entonces existen diferenciales armónicas \beta_j tales que \int_c\alpha_j=\int_c\beta_j para toda curva cerrada simple c en X. En particular, tenemos que \int_{\aleph_k}\alpha_j=\int_{\aleph_k}\beta_j=\delta_{j,k} para j,k=1,\ldots,2g, y luego \Phi(\beta_j)=e_j (el vector canónico cuyas coordenadas son nulas, excepto la coordenada i-ésima que tiene un 1). Luego, \Phi(H)=\mathbb{C}^{2g}, y entonces \dim H=2g. \Box

Ahora demostraremos el teorema principal de este post:

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género g, el espacio vectorial \Omega_X^1 de formas diferenciales holomorfas tiene dimensión g.

Demostración: Demostraremos que H=\Omega_X^1\oplus\overline{\Omega_X^1}, donde \overline{\Omega_X^1} denota las formas tales que su conjugado es holomorfa.

Está claro que \Omega_X^1\cap\overline{\Omega_X^1}=\{0\}. Vemos que si \alpha\in H, entonces \alpha=\frac{1}{2}(\alpha+i^*\alpha)+\frac{1}{2}(\alpha-i^*\alpha), donde si \alpha=fdx+gdy, ^*\alpha=-gdx+fdy. Es fácil ver que esta es justamente la representación de \alpha en la suma de elementos de \Omega_X^1 y \overline{\Omega_X^1}, y luego tenemos una descomposición para H.

Tenemos que \omega\mapsto\overline{\omega} es un \mathbb{R}-isomorfismo de \Omega_X^1 en \overline{\Omega_X^1}, y luego

\dim_\mathbb{C}\Omega_X^1=\frac{1}{2}\dim_\mathbb{R}\Omega_X^1=\frac{1}{2}\dim_{\mathbb{R}}\overline{\Omega_X^1}=g. \Box

 

Aplicaciones regulares entre variedades cuasiproyectivas

Funciones regulares

Sea X una variedad cuasiproyectiva (un subconjunto abierto de una variedad proyectiva, en la topología de Zariski ) sobre un cuerpo k. La primera definición que daremos de función regular sobre X es la siguiente:

Definición Una función f:X\to k es regular si para todo x\in X existe una vecindad U\subset X de x tal que f|_U es de la forma P/Q donde P y Q son dos polinomios homogéneos del mismo grado y Q(y)\neq 0 para todo y\in U.

Al principio, uno pensaría que esto definiría una función racional sobre X y no una función regular. Sin embargo, mostraremos que en el caso de que X sea un conjunto cerrado afín, entonces esta definición coincide con la definición usual:

Lema Si X es un conjunto cerrado en un espacio afín, entonces la definición de arriba coincide con la definición usual de función regular.

Demostración: Sea X un conjunto cerrado en el espacio afín \mathbb{A}^n y sea f:X\to f regular en el sentido de arriba. Si X es irreducible, entonces f es racional en el sentido usual, y para todo x\in X, existen P_x,Q_x\in k[x_1,\ldots,x_n] (en este caso homogéneos) tales que f=P_x/Q_x (esta igualdad ocurre en todo X, pues en un conjunto irreducible, una función racional está determinada por sus valores en un abierto).

Consideremos el ideal en k[X] generado por todos los Q_x; como k[X] es un anillo Noetheriano, entonces tal ideal se puede escribir de la forma (Q_{x_1},\ldots,Q_{x_m}) para algún m. Notamos que los Q_{x_i} no pueden tener un cero en común (por como los definimos), y por el Nullstellensatz de Hilbert para el anillo k[X], se tiene que tal ideal debe generar el anillo completo.

En particular, existen funciones u_1,\ldots,u_m\in k[X] tales que 1=\sum_{i=1}^mu_iQ_{x_i}. Si multiplicamos ambos lados por f, obtenemos que f=\sum_{i=1}^mu_iP_{x_i}\in k[X], y el lema queda demostrado.

Si X no es irreducible, entonces cada x\in X tiene una vecindad U_x tal que f=P_x/Q_x en U_x con P_x,Q_x\in k[x_1,\ldots,x_n] polinomios homogéneos del mismo grado y Q_x(y)\neq 0 para todo y\in U_x.

Por lo tanto, obtenemos que en U_x, se tiene que Q_xf=P_x. Sea g un polinomio tal que g=0 en X\backslash U_xg(y)\neq 0 para todo y\in U_x (podríamos achicar U_x para que esta última condición se cumpla). 

Así, tenemos que gQ_xf=gP_x en todo X. De la misma forma anterior, existen puntos x_1,\ldots,x_m\in X y funciones regulares en el sentido usual u_1,\ldots,u_m tales que g\sum_{i=1}^mu_iQ_{x_i}=1. Multiplicando por f, obtenemos que f=\sum_{i=1}^mgu_iP_{x_i}\in k[X], y queda demostrado el lema. \Box

Denotamos por k[X] el anillo de las funciones regulares en X.

Aplicaciones regulares

Definición Una aplicación f:X\to\mathbb{A}^n es regular si es regular en cada coordenada. Una aplicación f:X\to Y entre variedades cuasiproyectivas con Y\subset\mathbb{P}^n es regular si para cada x\in X y para algún pedazo afín \mathbb{A}_i^n\subset\mathbb{P}^n que contiene a f(x) se tiene que existe una vecindad U de x tal que f|_U:U\to\mathbb{A}_i^n es regular. 

Es fácil chequear que la definición anterior no depende del pedazo afín que se escoja. Notamos que si f:X\to Y es regular, entonces la función f^*:k[Y]\to k[X] (pullback) es un homomorfismo de k-álgebras.

Si f:X\to Y es regular y f(x)\in\mathbb{A}_0^n, entonces en U f tiene la forma [1:f_1:\cdots :f_n] con f_i regular. Igualando los denominadores de los f_i cerca de x, obtenemos que f tiene la forma [F_0:F_1:\cdots:F_n], donde los F_i son polinomios homogéneos del mismo grado y F_0(x)\neq 0.

Así, podemos ver que f:X\to Y es una aplicación regular si y solamente si para todo x\in X existe una vecindad U de x tal que f en U es de la forma [F_0:\cdots:F_n] con los F_i polinomios homogéneos del mismo grado y F_j(y)\neq 0 para todo y\in U para algún j.

Esta definición se asemeja mucho más a la definición intuitiva que uno tendría de mapeo regular en una variedad cuasiproyectiva.

Decimos que una variedad cuasiproyectiva es una variedad afín si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio afín, y es una variedad proyectiva si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio proyectivo.

Lema La propiedad de que un conjunto Y\subset X es cerrado es una propiedad local; es decir, si X=\bigcup_{\alpha}U_\alpha con U_\alpha abierto y Y\cap U_\alpha es cerrado para todo \alpha, entonces Y es cerrado.

Demostración:  Por definición si X=\bigcup_\alpha U_\alpha con U_\alpha abierto, entonces U_\alpha=X\backslash Z_\alpha, con Z_\alpha cerrado. Además, U_\alpha\cap Y=U_\alpha\cap T_\alpha, con T_\alpha cerrado en X.

Si y\in Y y y\in U_\alpha, entonces y\in U_\alpha\cap Y\subset T_\alpha, y si y\notin U_\alpha entonces y\in Z_\alpha; esto muestra que Y\subset\bigcap (Z_\alpha\cup T_\alpha). Recíprocamente, si x\in Z_\alpha\cup T_\alpha para todo \alpha, entonces x\in U_\beta para algún \beta, y así x\in T_\beta. Luego, x\in T_\beta\cap U_\beta\subset Y, y se tiene entonces que \bigcap_\alpha(Z_\alpha\cup T_\alpha)\subset Y.

Por lo tanto, ambos conjuntos son iguales, y entonces Y es cerrado en X. \Box

El siguiente lema es bastante más interesante:

Lema Todo x\in X tiene una vecindad que es isomorfa a una variedad afín.

Demostración: Sea x\in X, y supongamos que x\in\mathbb{A}_0^n (es decir, la primera coordenada de x es distinta de cero; los otros casos son análogos). Tenemos entonces (por definición de variedad cuasiproyectiva) que X=Y\backslash Z, donde Y y Z son subconjuntos cerrados de \mathbb{A}_0^n.

Tenemos entonces que existe un polinomio F que se anula en Z y tal que F(x)\neq 0. Sea V(F) el conjunto de los ceros de F en Y. Tenemos que D(F)=Y\backslash V(F) es una vecindad de x.

Supongamos que G_1=\cdots=G_n=0 son las ecuaciones de Y en \mathbb{A}_0^n; definimos una variedad W\subset\mathbb{A}^{n+1} por las ecuaciones

G_1(x_1,\ldots,x_n)=\cdots=G_m(x_1,\ldots,x_n)=0

F(x_1,\ldots,x_n)x_{n+1}=1.

Sea \phi:W\to D(F) tal que (w_1,\ldots,w_{n+1})\mapsto(w_1,\ldots,w_n); esta es una función regular con inversa (w_1,\ldots,w_n)\mapsto(w_1,\ldots,w_n,F(w_1,\ldots,w_n)^{-1}), y entonces tenemos que D(F) es una variedad afín. \Box

Si X es una variedad afín y f\in k[X], entonces decimos que D(f)=X\backslash V(f) es un conjunto abierto principal, por la demostración anterior se tiene que todo conjunto abierto principal es una variedad afín.

Corolario Las variedades afínes que contienen a un punto x forman una base de vecindades de x en la topología de Zariski en X.

Demostración: Sea U un abierto de X y x\in U. Notamos que U es también una variedad cuasiproyectiva, y entonces existe un abierto V\subset U que contiene a x que es a su vez una variedad afín.  

Está claro que V es también abierto en X, y luego queda demostrado el corolario. \Box

Proposición Si f:X\to Y es regular, entonces f es continua (donde ambas variedades tienen la topología de Zariski).

Demostración: Para todo x\in X, existen vecindades U de x y V de f(x) tales que f(U)\subset V\subset\mathbb{A}^n y tales que f:U\to V es regular. Sea Z\subset Y cerrado. 

Por el corolario anterior, podemos suponer que U es una variedad afín. Basta demostrar que f^{-1}(Z)\cap U es cerrado en U. Pero f^{-1}(Z)\cap U=f^{-1}(Z\cap V)\cap U.

Como Z\cap V es cerrado en V, está definido por ecuaciones G_1=\cdots=G_r=0. Así, f^{-1}(Z\cap V)\cap U está definido por las ecuaciones f^*(G_1)=\cdots=f^*(G_r)=0. Como U lo podemos tomar como un subconjunto de espacio afín, entonces f es polinomial en cada coordenada, y luego f^{-1}(Z\cap V)\cap U es cerrado en U. \Box

En muchos textos se da una definición alternativa de aplicación regular que vale la pena definir aquí:

Definición Una función f:X\to Y es regular si para todo x\in X y para toda función regular \varphi en una vecindad de f(x), se tiene que f^*(\varphi) es regular en una vecindad de x.

Un pequeño resultado sobre la monodromía de un cubrimiento

Sea f:X\to Y un cubrimiento (topológico) con X e Y variedades (reales topológicas) conexas. Sabemos que dado y\in Y, el grupo fundamental de Y centrado en y actúa de una forma natural (por la derecha) sobre f^{-1}(y) de la siguiente manera: si [\gamma]\in\pi_1(Y,y) (con \gamma una curva cerrada con punto inicial y, por supuesto), entonces para x\in f^{-1}(y) definimos x\cdot[\gamma] como el punto final del levantamiento de \gamma a X con punto inicial x.  Esta operación define una acción derecha, pues para mí el producto de dos caminos \alpha\cdot\beta consiste en recorrer \alpha y luego \beta.

Si suponemos que f es un cubrimiento de grado finito, digamos d, entonces esta acción induce un homomorfismo \rho:\pi_1(Y,y)\to S_d con imagen transitiva; este homomorfismo se llama la representación de monodromía del cubrimiento f.

Por otro lado, sea Y una variedad conexa, \rho:\pi_1(Y,y)\to S_d tal que a\mapsto \rho_a un homomorfismo de grupos cualquiera, y sea H=\{a\in\pi_1(Y,y):(1)\rho_a=1\} (el estabilizador de 1 en \pi_1(Y,y)). Sabemos por la teoría de cubrimientos que existe un cubrimiento f:X\to Y de grado d tal que f_*(\pi_1(X,x))=H para algún x\in X. La idea de este post es demostrar que la representación de monodromía de este cubrimiento corresponde justamente a \rho, y que de hecho hay una correspondencia biyectiva entre los cubrimientos de la variedad Y de grado d y los homomorfismos de \pi_1(Y,y) en S_d con imagen transitiva (salvo conjugación de la imagen).

Algunos preliminares algebraicos

Sea G un grupo, \rho:G \to S_d tal que a\mapsto \rho_a un homomorfismo de grupos con imagen transitiva y sea H=\{a\in G:(1)\rho_a=1\}. Como la imagen de G es transitiva, entonces podemos escoger y_i\in G tal que (1)\rho_{y_i}=i, para i=1,\ldots,d.

Está claro que G=\bigsqcup_{i=1}^dHy_i y Hy_i\cap Hy_j=\varnothing si i\neq j, de donde obtenemos que [G:H]=d.

Sea ahora \eta:G\to\mbox{Biy}(H\backslash G)  tal que a\mapsto\eta_a, donde (Hy_i)\eta_a=H(y_ia). Notamos que existe una correspondencia natural entre \{1,\ldots,d\} y H\backslash G (i se identifica con Hy_i).

Así, existe un isomorfismo \Phi:S_d\to\mbox{Biy}(H\backslash G) tal que \sigma\mapsto\Phi_\sigma, con (Hy_i)\Phi_\sigma=Hy_{(i)\sigma}. Demostraremos que \Phi\circ \rho=\eta, y así demostraríamos que esencialmente las acciones dadas por \rho y \eta son iguales.

Sea a\in G; entonces a=hy_i para algún 0\leq i\leq d y h\in H. Por lo tanto, para todo 0\leq j\leq d, se tiene que

(Hy_j)(\rho_{hy_i})\Phi=(Hy_j)\eta_{hy_i}\Leftrightarrow Hy_{(j)\rho_{hy_i}}=Hy_jhy_i\Leftrightarrow y_jhy_iy_{(j)\rho_{hy_i}}^{-1}\in H

\Leftrightarrow (1)\rho(y_jhy_iy_{(j)\rho_{hy_i}}^{-1})=1\Leftrightarrow(1)\rho(y_jhy_i)\circ\rho(y_{(j)\rho_{hy_i}})^{-1}=1.

Notamos que (1)\rho(y_jhy_i)=(j)\rho_{hy_i}, y luego la igualdad de arriba se cumple. Esto implica entonces que si definimos una acción de grupos de un grupo G sobre \{1,\ldots,d\} por un homomorfismo G\to S_d, entonces tal acción es “idéntica” a la acción de multiplicación derecha de G sobre las clases laterales (derechas) del subgrupo H definido arriba.

Volviendo a los cubrimientos

Sea Y una variedad conexa e y\in Y. Sea además \rho:\pi_1(Y,y)\to S_d un homomorfismo de grupos para algún d\in\mathbb{N}, y sea H el subgrupo definido como arriba (usando un abuso de notación obvio, podemos poner H=\rho^{-1}(\mbox{Im }\rho\cap S_{d-1})),

Sean \tilde{Y}=\{\gamma:[0,1]\to Y\mid \gamma\mbox{ continua},\gamma(0)=y\}/\sim donde \sim es la relación de homotopía y \pi:\tilde{Y}\to Y tal que \pi([\gamma])=\gamma(1). Con una topología adecuada, se ve que \pi:\tilde{Y}\to Y es el cubrimiento universal de Y.

Se tiene que \pi_1(Y,y) actúa sobre \tilde{Y} de la forma siguiente: si [\alpha]\in\tilde{Y} y [\gamma]\in\pi_1(Y,y), entonces [\gamma]\cdot[\alpha]:=[\gamma\alpha] (concatenación de curvas). Usando esta acción, se puede demostrar que \pi_H:\tilde{Y}\to\tilde{Y}/H es un cubrimiento y f:\tilde{Y}/H\to Y tal que \overline{[\beta]}\mapsto\pi([\beta]) (donde [\beta]\in\tilde{Y}) es un cubrimiento de Y de grado d tal que f_*(\pi_1(\tilde{Y}/H,x))=H, donde x\in\tilde{Y}/H es cualquier elemento tal que f(x)=y.

Sea f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_d\}. Mirando bien la definición de la acción de \pi_1(Y,y) sobre \tilde{Y}, se puede ver que las preimágenes de cada x_i por la función \pi_H contienen exactamente una clase lateral de H en \pi_1(Y,y). Sea

\pi_1(Y,y)=H[\gamma_1]\sqcup H[\gamma_2]\sqcup\cdots\sqcup H[\gamma_d]

tal que \pi_H([\gamma_i])=x_i.

Analicemos ahora cómo es la acción de \pi_1(Y,y) sobre f^{-1}(y). Notamos que la curva \gamma_i es levantada al cubrimiento universal a una curva cuyo punto inicial es la clase de curvas homotópicas a cero y cuyo punto final es la clase [\gamma_i]. Esta curva entonces es enviada a través de \pi_H a una curva en \tilde{Y}/H con punto inicial x_1 y punto final x_i.

Por lo tanto, si \tau:\pi_1(Y,y)\to S_d es la representación de monodromía para el cubrimiento f, entonces (1)\tau_{[\gamma_i]}=i. En particular, H es el estabilizador de 1.

Por los preliminares algebraicos, la acción de \tau corresponde a la acción dada por (H[\gamma_i])\cdot[\alpha]=H[\gamma_i\alpha].

Como \pi_1(Y,y)=\bigsqcup_{i=1}^dH[\gamma_i], podemos ver además que (1)\rho_{[\gamma_i]}\neq(1)\rho_{[\gamma_j]} si i\neq j. Sea \sigma\in S_d tal que ((1)\rho_{[\gamma_i]})\sigma=i para todo i=1,\ldots,d.

Consideremos el homomorfismo \rho^\sigma:\pi_1(Y,y)\to S_d tal que a\mapsto \sigma^{-1}\rho_a\sigma. Obtenemos que (1)\rho^\sigma_{[\gamma_i]}=i. Nuevamente por la parte algebraica, se tiene que \rho^\sigma induce la misma acción de \pi_1(Y,y) sobre H\backslash\pi_1(Y,y) que \tau, y por lo tanto \tau y \rho^\sigma son iguales.

Concluimos entonces que salvo conjugación en la imagen de \rho, la representación de monodromía del cubrimiento inducido por H es igual a \rho, y por lo tanto se tiene la correspondencia buscada. \Box

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