Restricciones para que un grupo actúe en la esfera de Riemann

Se sabe que si es un grupo finito que actúa holomorfa y efectivamente en una superficie de Riemann compacta de género (o sea, para todo , es holomorfa y el núcleo de la acción es trivial), entonces el cuociente es también una superficie de Riemann. Además, si es la proyección natural, se tiene la fórmula de Riemann-Hurwitz

donde hay puntos rama de en  (digamos que son ) y  es el orden del estabilizador de cualquiera de los preimágenes de .

En este post me quiero enfocar en la esfera de Riemann . En este caso, , y es fácil ver (por la misma fórmula arriba) que el género del cuociente es también . Así, la fórmula queda

donde .

Se puede demostrar que , y el caso se realiza, por ejemplo, cuando es el grupo cíclico generado por la función , donde  es una raíz -ésima primitiva de la unidad.

El caso  es lo que me interesa describir en este post. Se puede demostrar que si  entonces ocurre lo siguiente:

Para la demostración de estos hechos, véase “Algebraic Curves and Riemann Surfaces” de Rick Miranda, capítulo III, Lema 3.8. Estas son las únicas posibilidades que tiene un grupo que actúa sobre .

Notamos que si , entonces podemos realizar esta acción con el grupo  donde  para una raíz -ésima primitiva de la unidad y . Este grupo es el grupo dihedral .

Veremos en detalle algunas realizaciones de los otros casos, pero primero estudiaremos las simetrías de los sólidos platónicos.

Los sólidos platónicos y sus simetrías

Los sólidos platónicos son poliedros convexos regulares. Fueron estudiados por Teeteto, Pitágoras, Euclides y Platón, y se cree que Teeteto fue el primero en demostrar que solamente existen cinco sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro.

El grupo de simetrías de un sólido platónico es el grupo de las permutaciones de los vértices del sólido que provienen de una rotación del sólido completo; si es el sólido platónico, entonces denotaremos su grupo de simetrías por .

El poliedro dual de un sólido platónico es la figura obtenida de la siguiente manera: para cada cara en el sólido original colocamos un vértice, y estas vértices se unen por una arista solamente si las caras son adyacentes. Es fácil ver que el tetraedro es su propio dual, el dual del cubo es el octaedro y el dual del icosaedro es el dodecaedro.

Se ve que un sólido platónico y su dual comparten el mismo grupo de simetrías, y luego para calcular los grupos de simetrías de los sólidos platónicos, basta calcular las simetrías del tetraedro, el cubo y el icosaedro.

Proposición El grupo de simetrías del tetraedro es isomorfo a , el grupo alternante en 4 letras.

Demostración Sea un tetraedro. Como  tiene 4 vértices, entonces . Es fácil ver que todas las permutaciones de los 4 vértices corresponden a rotaciones y reflexiones de . Como las reflexiones no se pueden obtener con rotaciones, vemos que es un subgrupo propio de . Además, los 3-ciclos corresponden a rotaciones de  (que por definición son simetrías de ), y como los 3-ciclos generan , obtenemos lo buscado.

Proposición El grupo de simetrías de un cubo es isomorfo a , el grupo simétrico en 4 letras.

Demostración Sea  un cubo. Sean  los vértices de , tales que  y son vértices opuestos en el cubo para . Notamos que cualquier rotación del cubo lleva vértices opuestos en vértices opuestos. Denotamos , ,  y , y por lo dicho, cualquier rotación de  inducirá una permutación de estos números.

Esto implica que . Por el Teorema de Lagrange, basta encontrar más de 12 rotaciones del cubo para poder establecer una igualdad. Considere el eje que pasa por el centro de una cara y atraviesa el centro de la cara opuesta. Alrededor de este eje podemos rotar, y obtenemos 4 rotaciones (incluyendo la identidad). Podemos hacer esto en 3 ejes distintos, y así obtenemos permutaciones distintas en .

Considere ahora un eje que corta el centro de una arista y también corta el centro de la arista opuesta. Al rotar alrededor este eje en 180 grados, obtenemos 6 permutaciones nuevas (pues podemos hacer esto alrededor de 6 ejes distintos). Así, obtenemos más de 12 permutaciones, y entonces . 

Para no alargar tanto esta entrada, solamente enunciaré la última proposición:

Proposición El grupo de simetrías de un dodecaedro es isomorfo a .

La demostración de esta proposición (y más información con respecto a los sólidos platónicos) se puede encontrar en el siguiente enlace: Platonic Solids, professor Yongwhan Lim, Stanford University.

Podemos observar que los órdenes de estos grupos de simetrías coinciden exactamente con los últimos tres casos de grupos actuando sobre la esfera de Riemann mencionados arriba. Mostraremos ahora que los grupos que actúan en los sólidos platónicos efectivamente actúan en la esfera de Riemann.

La realización de estas acciones

Para poder realizar estas acciones en la esfera de Riemann, veremos distintos sólidos platónicos inscritos en la esfera de Riemann, y veremos que las simetrías de estos poliedros inducen acciones en toda la esfera. Notamos que como las simetrías son rotaciones y estamos buscando acciones holomorfas en la esfera, tendremos que considerar nuestros grupos como subgrupos del grupo de las transformaciones de Mobius elípticas.

Sabemos que las transformaciones elípticas se pueden escribir de la forma , donde  y  es algún punto.

Solamente realizaremos los primeros dos casos ( y ); el último sigue la misma idea.

Identificaremos la esfera de Riemann con .

Caso 1. ; el grupo que actuará en  es .

Queremos encontrar una acción explícita de  en la esfera de Riemann. Para esto, consideremos un tetraedro inscrito en la esfera de Riemann. Después de hacer varios cálculos elementales, se puede ver que si ponemos vértices y , entonces obtenemos un tetraedro inscrito en la esfera. Visto en el plano complejo, estos puntos corresponden a los puntos e .

Si enumeramos las raíces como y , vemos que la función  donde  es una raíz cúbica primitiva de la unidad corresponde a la permutación (en notación cíclica) .

Vemos que las permutaciones  y  generan el grupo . Debemos encontrar esta última permutación. Sin embargo, reemplazando valores en la transformación elíptica arriba, obtenemos la transformación .

Esto implica que el grupo actúa en la esfera de Riemann, la proyección natural tiene 3 puntos rama, y esta acción es el grupo de simetrías del tetraedro que inscribimos en la esfera.

Caso 2.  ; el grupo que actuará es .

Haciendo un proceso parecido al caso anterior, inscribimos un cubo en la esfera de Riemann con vértices . Por lo anterior, sabemos que el grupo de simetrías del cubo es isomorfo a .

Los vértices del cubo, vistos en el plano complejo corresponden a  y .

Vemos que  está generado por la trasposición  y por el ciclo . Enumerando los pares de vértices adecuadamente (véase la descripción del grupo de simetrías del cubo arriba), podemos ver que la función  corresponde a una rotación del cubo, y es un ciclo de largo 4.

Debemos encontrar entonces una trasposición, y vemos que la función sirve. Por lo tanto, obtenemos que  actúa en  y es isomorfo a .

Meta 1:

Queremos contar la cantidad de elementos que tiene el conjunto

.

Procedimiento:

Consideremos el grupo . Notamos que este grupo es isomorfo a , y lo denotaremos (por el momento) como . De hecho, para todo y para cualquier tal que , el subgrupo  es isomorfo a y . 

Dejaremos la notación , y denotaremos este subgrupo simplemente por .

Notamos que tiene precisamente conjugados, ya que depende solamente de , y hay posibles valores para este número. Otra forma de ver el mismo hecho es que el normalizador de  en es , y luego la cantidad de conjugados de  es igual a .

Observamos que , y entonces para calcular la cardinalidad de , basta calcular la cardinalidad de .

Podemos ver que para todo distintos, se tiene que es igual al conjunto de todos los elementos en que fijan , y luego es isomorfo a . Siguiendo la misma lógica, vemos que la intersección de de estos subgrupos es isomorfo a , y luego tiene cardinalidad . 

Recordemos ahora el Principio de Inclusión-Exclusión, que dice que si son conjuntos, entonces

.

Así, si es tal que , tenemos que 

La gracia de esta fórmula en el contexto en el cual estamos trabajando nosotros es que ya conocemos las cardinalidades de todas las intersecciones (por lo que dijimos anteriormente).

Entonces

.

Podemos ver (por inducción, por ejemplo) que

.

Reemplazando esto entonces, obtenemos que

Finalmente entonces, obtenemos el cálculo buscado:

.

Meta 2:

Queremos calcular ahora la probabilidad (la probabilidad de que al elegir una permutación de , sea justamente una permutación sin puntos fijos), y queremos encontrar .

Procedimiento:

Tenemos que . Entonces

.

¡Qué hermoso! Entonces lo que hemos calculado básicamente es que al elegir una permutación cualquiera, aproximadamente de las veces tal permutación no tendrá puntos fijos. Qué impresionante, ¿no?

Para empezar, definiremos el grupo de Picard de :

Definción Definimos el grupo de Picard de como .

Notamos de inmediato que tenemos la siguiente secuencia exacta

donde claramente es la función grado. Sea , y consideremos la aplicación  que toma (la clase de) un divisor en de grado y lo envía a (la clase de) .

Notamos que , y luego la secuencia exacta escinde. Esto implica que 

Por el Teorema de Abel, se tiene que (el jacobiano de ), y luego se tiene que

Sea el haz de las funciones regulares, el conjunto de todos los fibrados de líneas de (módulo isomorfismo) y sea el conjunto de todos los haces invertibles en (módulo isomorfismo).

Recordamos que un haz invertible  es un haz que es localmente isomorfo al haz ; es decir, para todo existe un abierto que contiene a tal que . Se tiene que forma un grupo abeliano con la operación de producto tensorial (de haces), y con elemento neutro .

Isomorfismos entre los grupos

Si denota el haz de las funciones regulares que nunca toman el valor cero, denota el haz de las funciones racionales que son distintas de cero (mas bien el haz constante ) y denota el haz de divisores cuyas secciones consisten de los divisores con soporte finito contenido en , tenemos la siguiente secuencia exacta de haces:

Esta secuencia exacta induce una secuencia exacta larga de cohomología (aquí estamos usando la cohomología de Cech):

el último término es 0 pues como es un haz constante, se tiene que . Notamos que , y entonces la secuencia exacta se convierte en

Así, obtenemos que . Por lo tanto, hemos demostrado que

Proposición .

Sea ahora un divisor en , y sea  el haz de funciones racionales con polos acotados por (por ejemplo ). Se puede demostrar que es un haz invertible, y que

tal que es una aplicación bien definida, y de hecho es un homomorfismo de grupos.

Sea , y sea un cubrimiento de por abiertos tal que es trivial sobre cada (es decir, es isomorfo a sobre cada ). Sea un generador de .

Entonces para todo , existe una función tal que . Se tiene que la aplicación tal que  está bien definida, y es independiente de la elección de generadores y del cubrimiento abierto. De hecho, se tiene el siguiente resultado:

Proposición y son isomorfismos de grupos; además, se tiene que la composición

es precisamente el isomorfismo que describimos antes (el isomorfismo que encontramos usando la secuencia exacta).

Consideremos ahora . Si está dado por la función , entonces definimos una sección regular de sobre  como una función tal que y tal que para toda carta de fibrado de líneas  (para abierto) se tiene que es regular, donde es la proyección en la segunda coordenada. Se define similarmente una sección racional.

Denotamos por el haz de las secciones regulares en . Se puede demostrar que es un haz invertible, y así se tiene una función .

Si es una sección racional sobre , podemos definir un divisor a partir de de la siguiente forma: si es abierto, y es una carta de fibrado de líneas, definimos . Se puede demostrar que está bien defindo este número.

Además, dadas dos secciones racionales y , se tiene que (equivalencia lineal). Por lo tanto, obtenemos una función .

Proposición Tenemos que las funciones y son biyecciones. Además, la composición

es precisamente la función .

Por la proposición anterior, notamos que podemos dotar de estructura de grupo abeliano; lo consideraremos como un grupo de ahora en adelante.

Por último, notamos que si tenemos un fibrado de líneas dado por una función , para que dos cartas y sean compatibles, necesitamos que o bien , o que tenga la forma para alguna función regular en  que nunca toma el valor cero (es decir, ).

Si es un cubrimiento por abiertos de con cartas , entonces tenemos “funciones de transición” tales que es de la forma . Estas funciones además cumplen las condiciones de cociclo:

1. en

2. en

3. en .

Por lo tanto, obtenemos una función tal que . Esta clase no depende del cubrimiento que tomemos. Llegamos ahora a nuestra última proposición:

Proposición La función es un isomorfismo de grupos. Además, se tiene que la composición

(donde la última flecha es el morfismo obtenido de la secuencia exacta al principio) es precisamente el isomorfismo .

Así hemos obtenido diversas maneras de ver el grupo de Picard de una curva proyectiva no singular. Para resumir, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

Si hacemos que los discos sean suficientemente pequeños, podemos suponer que es un anillo, y que consiste de dos anillos, digamos y .

Supongamos que está a la izquierda de (le damos una cierta orientación a para que esto pase). Sea ahora una franja más pequeña alrededor de en (con conjuntos correspondientes y ).

Sea tal que si , si , y tal que es de clase en .

Definimos la forma diferencial donde es igual a en , y es igual a 0 en . Notamos que es real, cerrada y  , con soporte compacto.

Proposición Para toda forma diferencial suave , se tiene que

Demostración: Tenemos que

Usamos la forma para definir el número de intersección de dos clases de homología (donde son dos curvas en ) como el número . Es fácil ver que este número está bien definido, y depende solamente de las clases de homología de y . Además, cuenta el número de “intersecciones” que tienen y (intersecciones con signo).

Recordemos que una forma armónica es una forma diferencial tal que localmente está dada por , donde es una función armónica (). Si es armónica, es fácil probar que localmente está dada por , donde y son funciones holomorfas.

Sea el espacio vectorial de las formas armónicas en .

El siguiente teorema es de mucha importancia, y se usará para encontrar la dimensión de las formas holomorfas sobre :

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género , tiene dimensión (si consideramos formas reales, la dimensión es la dimensión real, y si estamos considerando formas complejas, la dimensión es compleja).

Demostración: Primero, supongamos que , y supongamos que es una forma armónica distinta de 0. Para fijo, definimos la función ; está bien definida porque es simplemente conexo. 

Sea y sea una carta tal que . Sea un camino que une con , y supongamos que . Si está dada por en , con y holomorfas, entonces

con . Usando análisis complejo, notamos que y ; así . Además, por lo mismo, obtenemos que  es armónica. Sin embargo, como es una superficie compacta, por el principio del módulo máximo obtenemos que es necesariamente una función constante. Por lo tanto, , una contradicción. Concluimos que para , el teorema es cierto.

Si , sea una base canónica de homología para , y consideremos la función tal que .

Está claro que es una transformación lineal. Si  no es trivial (digamos ), entonces podríamos definir la función armónica , y por el párrafo anterior esto llevaría a una contradicción.

Por lo tanto, tenemos que , y luego . Sean curvas cerradas tales que para y para . Sea para y para . Vemos entonces que

y

Como para , entonces existen diferenciales armónicas tales que para toda curva cerrada simple en . En particular, tenemos que para , y luego (el vector canónico cuyas coordenadas son nulas, excepto la coordenada -ésima que tiene un 1). Luego, , y entonces .

Ahora demostraremos el teorema principal de este post:

Teorema En una superficie de Riemann compacta de género , el espacio vectorial de formas diferenciales holomorfas tiene dimensión .

Demostración: Demostraremos que , donde denota las formas tales que su conjugado es holomorfa.

Está claro que . Vemos que si , entonces , donde si , . Es fácil ver que esta es justamente la representación de en la suma de elementos de y , y luego tenemos una descomposición para .

Tenemos que es un -isomorfismo de en , y luego

Sea una variedad cuasiproyectiva (un subconjunto abierto de una variedad proyectiva, en la topología de Zariski ) sobre un cuerpo . La primera definición que daremos de función regular sobre es la siguiente:

Definición Una función es regular si para todo existe una vecindad  de  tal que es de la forma donde y son dos polinomios homogéneos del mismo grado y para todo .

Al principio, uno pensaría que esto definiría una función racional sobre y no una función regular. Sin embargo, mostraremos que en el caso de que  sea un conjunto cerrado afín, entonces esta definición coincide con la definición usual:

Lema Si es un conjunto cerrado en un espacio afín, entonces la definición de arriba coincide con la definición usual de función regular.

Demostración: Sea un conjunto cerrado en el espacio afín  y sea regular en el sentido de arriba. Si  es irreducible, entonces es racional en el sentido usual, y para todo , existen (en este caso homogéneos) tales que (esta igualdad ocurre en todo , pues en un conjunto irreducible, una función racional está determinada por sus valores en un abierto).

Consideremos el ideal en  generado por todos los ; como es un anillo Noetheriano, entonces tal ideal se puede escribir de la forma para algún . Notamos que los no pueden tener un cero en común (por como los definimos), y por el Nullstellensatz de Hilbert para el anillo , se tiene que tal ideal debe generar el anillo completo.

En particular, existen funciones tales que . Si multiplicamos ambos lados por , obtenemos que , y el lema queda demostrado.

Si no es irreducible, entonces cada tiene una vecindad tal que en con polinomios homogéneos del mismo grado y para todo .

Por lo tanto, obtenemos que en , se tiene que . Sea un polinomio tal que en y  para todo  (podríamos achicar para que esta última condición se cumpla). 

Así, tenemos que en todo . De la misma forma anterior, existen puntos y funciones regulares en el sentido usual  tales que . Multiplicando por , obtenemos que , y queda demostrado el lema.

Denotamos por el anillo de las funciones regulares en .

Aplicaciones regulares

Definición Una aplicación  es regular si es regular en cada coordenada. Una aplicación entre variedades cuasiproyectivas con  es regular si para cada y para algún pedazo afín  que contiene a  se tiene que existe una vecindad  de tal que  es regular. 

Es fácil chequear que la definición anterior no depende del pedazo afín que se escoja. Notamos que si es regular, entonces la función (pullback) es un homomorfismo de -álgebras.

Si es regular y , entonces en tiene la forma con regular. Igualando los denominadores de los cerca de , obtenemos que tiene la forma , donde los son polinomios homogéneos del mismo grado y .

Así, podemos ver que es una aplicación regular si y solamente si para todo existe una vecindad de tal que en es de la forma con los polinomios homogéneos del mismo grado y para todo  para algún .

Esta definición se asemeja mucho más a la definición intuitiva que uno tendría de mapeo regular en una variedad cuasiproyectiva.

Decimos que una variedad cuasiproyectiva es una variedad afín si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio afín, y es una variedad proyectiva si es isomorfo a un subconjunto cerrado de un espacio proyectivo.

Lema La propiedad de que un conjunto es cerrado es una propiedad local; es decir, si con abierto y es cerrado para todo , entonces es cerrado.

Demostración:  Por definición si con abierto, entonces , con cerrado. Además, , con cerrado en .

Si y , entonces , y si entonces ; esto muestra que . Recíprocamente, si para todo , entonces para algún , y así . Luego, , y se tiene entonces que .

Por lo tanto, ambos conjuntos son iguales, y entonces es cerrado en .

El siguiente lema es bastante más interesante:

Lema Todo tiene una vecindad que es isomorfa a una variedad afín.

Demostración: Sea , y supongamos que (es decir, la primera coordenada de  es distinta de cero; los otros casos son análogos). Tenemos entonces (por definición de variedad cuasiproyectiva) que , donde  y son subconjuntos cerrados de .

Tenemos entonces que existe un polinomio que se anula en y tal que . Sea el conjunto de los ceros de en . Tenemos que es una vecindad de .

Supongamos que son las ecuaciones de en ; definimos una variedad  por las ecuaciones

Sea tal que ; esta es una función regular con inversa , y entonces tenemos que es una variedad afín.

Si es una variedad afín y , entonces decimos que es un conjunto abierto principal, por la demostración anterior se tiene que todo conjunto abierto principal es una variedad afín.

Corolario Las variedades afínes que contienen a un punto forman una base de vecindades de  en la topología de Zariski en .

Demostración: Sea un abierto de  y . Notamos que es también una variedad cuasiproyectiva, y entonces existe un abierto  que contiene a  que es a su vez una variedad afín.  

Está claro que es también abierto en , y luego queda demostrado el corolario.

Proposición Si es regular, entonces es continua (donde ambas variedades tienen la topología de Zariski).

Demostración: Para todo , existen vecindades de y de tales que y tales que es regular. Sea cerrado. 

Por el corolario anterior, podemos suponer que es una variedad afín. Basta demostrar que es cerrado en . Pero .

Como es cerrado en , está definido por ecuaciones . Así, está definido por las ecuaciones . Como lo podemos tomar como un subconjunto de espacio afín, entonces es polinomial en cada coordenada, y luego  es cerrado en .

En muchos textos se da una definición alternativa de aplicación regular que vale la pena definir aquí:

Definición Una función  es regular si para todo y para toda función regular en una vecindad de , se tiene que es regular en una vecindad de .

Si suponemos que es un cubrimiento de grado finito, digamos , entonces esta acción induce un homomorfismo con imagen transitiva; este homomorfismo se llama la representación de monodromía del cubrimiento .

Por otro lado, sea una variedad conexa,  tal que  un homomorfismo de grupos cualquiera, y sea (el estabilizador de 1 en ). Sabemos por la teoría de cubrimientos que existe un cubrimiento de grado tal que para algún . La idea de este post es demostrar que la representación de monodromía de este cubrimiento corresponde justamente a , y que de hecho hay una correspondencia biyectiva entre los cubrimientos de la variedad de grado  y los homomorfismos de en con imagen transitiva (salvo conjugación de la imagen).

Algunos preliminares algebraicos

Sea un grupo, tal que un homomorfismo de grupos con imagen transitiva y sea . Como la imagen de  es transitiva, entonces podemos escoger tal que , para .

Está claro que y si , de donde obtenemos que .

Sea ahora  tal que , donde . Notamos que existe una correspondencia natural entre y ( se identifica con ).

Así, existe un isomorfismo tal que , con . Demostraremos que , y así demostraríamos que esencialmente las acciones dadas por y son iguales.

Sea ; entonces para algún y . Por lo tanto, para todo , se tiene que

Notamos que , y luego la igualdad de arriba se cumple. Esto implica entonces que si definimos una acción de grupos de un grupo  sobre  por un homomorfismo , entonces tal acción es “idéntica” a la acción de multiplicación derecha de sobre las clases laterales (derechas) del subgrupo definido arriba.

Volviendo a los cubrimientos

Sea una variedad conexa e . Sea además un homomorfismo de grupos para algún , y sea  el subgrupo definido como arriba (usando un abuso de notación obvio, podemos poner ),

Sean donde es la relación de homotopía y  tal que . Con una topología adecuada, se ve que es el cubrimiento universal de .

Se tiene que actúa sobre de la forma siguiente: si y , entonces (concatenación de curvas). Usando esta acción, se puede demostrar que es un cubrimiento y tal que  (donde ) es un cubrimiento de  de grado  tal que , donde es cualquier elemento tal que .

Sea . Mirando bien la definición de la acción de sobre , se puede ver que las preimágenes de cada por la función  contienen exactamente una clase lateral de en . Sea

tal que .

Analicemos ahora cómo es la acción de sobre . Notamos que la curva es levantada al cubrimiento universal a una curva cuyo punto inicial es la clase de curvas homotópicas a cero y cuyo punto final es la clase . Esta curva entonces es enviada a través de a una curva en con punto inicial y punto final .

Por lo tanto, si es la representación de monodromía para el cubrimiento , entonces . En particular, es el estabilizador de 1.

Por los preliminares algebraicos, la acción de corresponde a la acción dada por .

Como , podemos ver además que si . Sea tal que para todo .

Consideremos el homomorfismo tal que . Obtenemos que . Nuevamente por la parte algebraica, se tiene que induce la misma acción de sobre que , y por lo tanto y son iguales.

Concluimos entonces que salvo conjugación en la imagen de , la representación de monodromía del cubrimiento inducido por es igual a , y por lo tanto se tiene la correspondencia buscada.